به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
103 بازدید
در دانشگاه توسط M.SH (278 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید $f:R \rightarrow R$ یک تابع پیوسته باشد و $\lim f(x)=0$ که $x \rightarrow \infty $. حد زیر را محاسبه کنید.

$\lim_{n\to \infty } \int_{1970}^{1990} f(nx) dx $

با سلام. من برای این ، یه جواابی نوشتم اما نمیدونم صحیح هست یانه. من نوشتم چون که تابع پیوسته است و در تابع پیوسته مقدار حد چپ و راست و مقدار خود تابع هر سه برابر هستند، و خود سواال هم گفته که $ \lim f(x) =0 $ است پس مقدار حد در اینجا صفر میشه و اگر هم در n هم ضرب کنیم باز هم صفر میشه پس جوااب صفر است. ممنون میشم راهنماییم کنید چیزی که نوشتم مشکل ندارد؟

توسط AmirHosein (18,467 امتیاز)
@M.SH به احتمال زیاد این پرسش را از یک المپیاد یا آزمون بیرون از ایران برداشته‌اید، درست است؟ (به دلیل ۱۹۷۰ تا ۱۹۹۰ که احتمالا به سال‌های میلادی به نوعی مرتبط به زمان آزمون اشاره دارند) اگر بلی، مشخصات مرجع را در بخش مرجع بیفزائید.
توسط M.SH (278 امتیاز)
@AmirHosein. نه از المپیاد نبوده، یکی از دوستام پرسید من نتونستم حل کنم. گفتم اینجا بپرسم راهنماییم کنید. ممنون.
توسط AmirHosein (18,467 امتیاز)
+1
@M.SH از همان دوستتان جویا شوید، وقتی تا آخر زنجیر افرادی که پرسش را به هم پاس دادند را تا به انتها پیش بروید مطمئنا به پرسش یک المپیاد، یا آزمون یا کتاب خارجی می‌رسید که عددهای ۱۹۷۰ و ۱۹۹۰ را به دلیل خاصی انتخاب کرده‌اند و مربوط به سال‌های خاصی است، برای نمونه سال‌هایی که آزمون مورد نظر در آنها برگزار شده از سال ۱۹۷۰ شروع شده و هر ساله برگزار شده و زمان طرح این پرسش سال ۱۹۹۰ بوده. یک همچین دلیلی.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina (17,315 امتیاز)

اولا باتغییر متغیر $y=nx$ داریم $$\int_{1970}^{1990}f(nx)dx=\frac 1n\int_{1970n}^{1990n}f(y)dy$$ ثانیا بنابر قضیه مقدار میانی برای انتگرال ها، برای هر $n$ ی یک $y_n\in(1970n , 1990n)$ موجود است که $$\int_{1970n}^{1990n}f(y)dy=f(y_n)(1990n-1970n)=f(y_n)\times 20n$$

واضح است وقتی که $n\to \infty$ داریم $y_n\to \infty$ و لذا $\lim_{n\to\infty}f(y_n)=0$، که از آن داریم:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \int_{1970}^{1990}f(x)dx&=\lim_{n\to\infty}\frac 1n\int_{1970n}^{1990n}f(y)dy\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac 1n\times f(y_n)\times 20n\\ &=\lim_{n\to\infty}20f(y_n)\\ &=20\times 0=0\end{align} $$
توسط fardina (17,315 امتیاز)
+1
توجه کنید که شرط پیوستگی تابع، در قضیه مقدار میانی برای انتگرال ها مهم است.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...