اگر $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ یک تابع پیوسته باشد و $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ آنگاه $\lim_{n\to\infty}\int_{1970}^{1990}f(nx)dx$ را بیابید.

Question

فرض کنید $f:R \rightarrow R$ یک تابع پیوسته باشد و $\lim f(x)=0$ که $x \rightarrow \infty $. حد زیر را محاسبه کنید.

$\lim_{n\to \infty } \int_{1970}^{1990} f(nx) dx $

با سلام. من برای این ، یه جواابی نوشتم اما نمیدونم صحیح هست یانه. من نوشتم چون که تابع پیوسته است و در تابع پیوسته مقدار حد چپ و راست و مقدار خود تابع هر سه برابر هستند، و خود سواال هم گفته که $ \lim f(x) =0 $ است پس مقدار حد در اینجا صفر میشه و اگر هم در n هم ضرب کنیم باز هم صفر میشه پس جوااب صفر است. ممنون میشم راهنماییم کنید چیزی که نوشتم مشکل ندارد؟

Comments

@M.SH به احتمال زیاد این پرسش را از یک المپیاد یا آزمون بیرون از ایران برداشته‌اید، درست است؟ (به دلیل ۱۹۷۰ تا ۱۹۹۰ که احتمالا به سال‌های میلادی به نوعی مرتبط به زمان آزمون اشاره دارند) اگر بلی، مشخصات مرجع را در بخش مرجع بیفزائید.

---

@AmirHosein. نه از المپیاد نبوده، یکی از دوستام پرسید من نتونستم حل کنم. گفتم اینجا بپرسم راهنماییم کنید. ممنون.

---

@M.SH از همان دوستتان جویا شوید، وقتی تا آخر زنجیر افرادی که پرسش را به هم پاس دادند را تا به انتها پیش بروید مطمئنا به پرسش یک المپیاد، یا آزمون یا کتاب خارجی می‌رسید که عددهای ۱۹۷۰ و ۱۹۹۰ را به دلیل خاصی انتخاب کرده‌اند و مربوط به سال‌های خاصی است، برای نمونه سال‌هایی که آزمون مورد نظر در آنها برگزار شده از سال ۱۹۷۰ شروع شده و هر ساله برگزار شده و زمان طرح این پرسش سال ۱۹۹۰ بوده. یک همچین دلیلی.

Answer 1

اولا باتغییر متغیر $y=nx$ داریم $$\int_{1970}^{1990}f(nx)dx=\frac 1n\int_{1970n}^{1990n}f(y)dy$$ ثانیا بنابر قضیه مقدار میانی برای انتگرال ها، برای هر $n$ ی یک $y_n\in(1970n , 1990n)$ موجود است که $$\int_{1970n}^{1990n}f(y)dy=f(y_n)(1990n-1970n)=f(y_n)\times 20n$$

واضح است وقتی که $n\to \infty$ داریم $y_n\to \infty$ و لذا $\lim_{n\to\infty}f(y_n)=0$، که از آن داریم:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \int_{1970}^{1990}f(x)dx&=\lim_{n\to\infty}\frac 1n\int_{1970n}^{1990n}f(y)dy\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac 1n\times f(y_n)\times 20n\\ &=\lim_{n\to\infty}20f(y_n)\\ &=20\times 0=0\end{align} $$

Comments

توجه کنید که شرط پیوستگی تابع، در قضیه مقدار میانی برای انتگرال ها مهم است.