ثابت کنید که اگر $ lim_{x \to \infty } f(x)=l $ در اینصورت $f$ بر بازه ی $[x_0,+ \infty ]$ کراندار است

Question

ثابت کنید اگر $ lim_{x \to \infty } f(x)=l $ آنگاه $x_0 \in R$ای وجود دارد بطوری که $f$ بر بازه ی $[x_0,+ \infty ]$ کراندار است

Answer 1

فرض کنید $\epsilon=1$ و تعریف حد رو بنویسیم $N$ ی موجود است که برای هر $x\geq N$ داریم $|f(x)-L|< \epsilon =1$

اما بنابر نامساوی مثلثی می دانیم $||f(x)|-|L||\leq |f(x)-L|< 1$ و لذا $|f(x)|< |L|+1$

یعنی روی باز $[N, \infty)$ داریم $ |f(x)|< |L|+1 $ و این یعنی در این بازه کراندار است.( یعنی در اینجا $x_0=N$ )