ابتدا حد $\sqrt[3]{4 x^{a}+ x^{2} }- \sqrt[3]{ x^{a}+ x^{2} }$ محاسبه میکنیم. برای سادگی قرار میدهیم $p(x)=4 x^{a}+ x^{2} $و $q(x)= x^{a}+ x^{2}$ حال داریم
$$ \sqrt[3]{p(x)} - \sqrt[3]{q(x)}= \frac{p(x)-q(x)}{ \sqrt[3]{ p^{2} (x)}+ \sqrt[3]{p(x)q(x)} + \sqrt[3]{q^{2} (x)} } $$
حال داریم :
$$ \sqrt[3]{p(x)} - \sqrt[3]{q(x)}= \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} $$
که
$$h(x)= \sqrt[3]{ (1+4 x^{a-2} )^{2} } + \sqrt[3]{1+5 x^{a-2}+4 x^{2a-4} }+ \sqrt[3]{(1+ x^{a-2} )^{2}} $$
حال چون $a<2$ داریم :
$ \lim_{x \rightarrow \infty } h(x)=3$ بنابراین میتوان نوشت :
$$ \lim_{x \rightarrow \infty } \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{x^{a} + x^{2}}= \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} $$
حال اگر $\dfrac{4}{3}<a<2$ آنگاه حد برابر $+\infty $ اگر $a= \frac{4}{3} $ آنگاه حد برابر $1$ و اگر $0<a< \frac{4}{3} $
آنگاه حد برابر صفر است. حال میتوان نوشت :
$$\lim_{x \rightarrow \infty } ( \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{x^{a} + x^{2}})^{x-[x]}= \lim_{x \rightarrow \infty } e^{(x-[x])\ln( \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} )}$$
حال قرار میدهیم $$g(x)=(x-[x])\ln( \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} )$$
اگر $ \frac{4}{3} <a<2$ با انتخاب دنبالههای $x_{k} =k, y_{k} =k+ \frac{1}{2} $ داریم :
$g( x_{k} )=0,g( y_{k} ) \rightarrow + \infty$ چرا که $y_{k}\rightarrow \infty ,h( y_{k} )\rightarrow \infty $
حالت $0<a< \frac{4}{3} $ به صورت مشابه حد وجود ندارد.
تنها $a= \frac{4}{3} $ باقی میماند که داریم :
$g(x)=(x-[x])\ln( \frac{3 }{h(x)} ) \longrightarrow 0 $ چرا که صفر ضربدر کراندار برابر صفر است پس حد تنها در این حالت وجود دارد و برابر 1 است.
