با توجه به تعریف انتگرال معین مقدار حد $\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}})$ را حساب کنید.

Question

با توجه به انتگرال معین حاصل زیر را محاسبه کنید.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}})$$

(من خودم هر کسر رو گویاش کردم و بعد از$ \frac{1}{n} $ فاکتور گرفتم و یه خورده جلو رفتم دیگه نمی‌دونم باید چی کار کنم.)

Answer 1

$$ \begin{align}\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n^2}}) &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}(\frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{1}{n})^2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{n}{n})^2}}) \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}{\frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{k}{n})^2}}} \end{align} $$

طبق تعریف انتگرال ریمان برابر است با:

$$ \int_0^1{\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}dx} $$

همچنین داریم: $$ \int{\frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}dx} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C $$