حد فوق برابر است با:
$$ S=\lim_{n \rightarrow + \infty }{ \frac{ \pi }{3n} \sum_{i=1}^n sin \frac{i \pi }{3n} } $$
برای محاسبه حد مجموع یک دنباله یا به اصطلاح حد یک بسط در بی نهایت، اتحاد زیر را به کار می گیریم:
$$ \int_a^b f(x)dx= \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^nf \big({a+i \frac{b-a}{n}}\big) $$
حال اگر $\,\,b= \frac{ \pi }{3}\, $و $\,\,a=0\,\,$ را جای گذاری کنیم داریم:
$$ \int_0^{ \frac{ \pi }{3} } f(x)dx= \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{{ \pi }}{3n} \sum_{i=1}^nf \big({\frac{{i\pi}}{3n}}\big) $$
با توجه به تساوی بالا اگر $f=sin$ را جایگذاری کنیم داریم:
$$ \int_0^{ \frac{ \pi }{3} } sinxdx= \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{{ \pi }}{3n} \sum_{i=1}^nsin {\frac{{i\pi}}{3n}} $$
پس:
$$S=\int_0^{ \frac{ \pi }{3} } sinxdx=-cos{ \frac{ \pi }{3} }-(-cos0)=- \frac{1}{2}+1= \frac{1}{2} $$
