به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,719 بازدید
در دانشگاه توسط kolge (300 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

با توجه به مفهوم انتگرال معین حاصل $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi}{3n}\left(\sin\frac{\pi}{3n}+\sin\frac{2\pi}{3n}+\ldots+\sin\frac{n\pi}{3n}\right)$$ کدام است؟

  1. $\frac{2}{3}$
  2. $\frac{3}{2}$
  3. $1$
  4. $\frac{1}{2}$

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط farhad (647 امتیاز)
انتخاب شده توسط kolge
 
بهترین پاسخ

حد فوق برابر است با: $$ S=\lim_{n \rightarrow + \infty }{ \frac{ \pi }{3n} \sum_{i=1}^n sin \frac{i \pi }{3n} } $$ برای محاسبه حد مجموع یک دنباله یا به اصطلاح حد یک بسط در بی نهایت، اتحاد زیر را به کار می گیریم:

$$ \int_a^b f(x)dx= \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^nf \big({a+i \frac{b-a}{n}}\big) $$

حال اگر $\,\,b= \frac{ \pi }{3}\, $و $\,\,a=0\,\,$ را جای گذاری کنیم داریم: $$ \int_0^{ \frac{ \pi }{3} } f(x)dx= \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{{ \pi }}{3n} \sum_{i=1}^nf \big({\frac{{i\pi}}{3n}}\big) $$ با توجه به تساوی بالا اگر $f=sin$ را جایگذاری کنیم داریم: $$ \int_0^{ \frac{ \pi }{3} } sinxdx= \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{{ \pi }}{3n} \sum_{i=1}^nsin {\frac{{i\pi}}{3n}} $$ پس: $$S=\int_0^{ \frac{ \pi }{3} } sinxdx=-cos{ \frac{ \pi }{3} }-(-cos0)=- \frac{1}{2}+1= \frac{1}{2} $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...