حاصل حد $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{3n}\sum_{i=1}^n{\sin\frac{i\pi}{3n}}$ را با کمک تعریف انتگرال معین بیابید.

Question

با توجه به مفهوم انتگرال معین حاصل $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi}{3n}\left(\sin\frac{\pi}{3n}+\sin\frac{2\pi}{3n}+\ldots+\sin\frac{n\pi}{3n}\right)$$ کدام است؟

1. $\frac{2}{3}$
2. $\frac{3}{2}$
3. $1$
4. $\frac{1}{2}$

Answer 1

حد فوق برابر است با: $$ S=\lim_{n \rightarrow + \infty }{ \frac{ \pi }{3n} \sum_{i=1}^n sin \frac{i \pi }{3n} } $$ برای محاسبه حد مجموع یک دنباله یا به اصطلاح حد یک بسط در بی نهایت، اتحاد زیر را به کار می گیریم:

$$ \int_a^b f(x)dx= \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^nf \big({a+i \frac{b-a}{n}}\big) $$

حال اگر $\,\,b= \frac{ \pi }{3}\, $و $\,\,a=0\,\,$ را جای گذاری کنیم داریم: $$ \int_0^{ \frac{ \pi }{3} } f(x)dx= \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{{ \pi }}{3n} \sum_{i=1}^nf \big({\frac{{i\pi}}{3n}}\big) $$ با توجه به تساوی بالا اگر $f=sin$ را جایگذاری کنیم داریم: $$ \int_0^{ \frac{ \pi }{3} } sinxdx= \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{{ \pi }}{3n} \sum_{i=1}^nsin {\frac{{i\pi}}{3n}} $$ پس: $$S=\int_0^{ \frac{ \pi }{3} } sinxdx=-cos{ \frac{ \pi }{3} }-(-cos0)=- \frac{1}{2}+1= \frac{1}{2} $$