بفرض $m-n=q$، آنگاه $\lim_{x\to-\infty}(\sqrt[q]{\frac{\sum_{i=0}^ma_ix^i}{\sum_{i=0}^nb_ix^i}}-\sqrt[q]{\frac{a_m}{b_n}}x)$ را بیابید.

Question

با سلام. با فرض اینکه $m-n=q$، حاصل حد زیر را می‌خواستم.

$$ \displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left( \sqrt[q]{\frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1} + \cdots+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0}} - \sqrt[q]{\frac{a_m}{b_n}}x \right)$$

Answer 1

با انجام دادن تقسیم عبارت زیر رادیکال به مقدار زیر خواهیم رسید:

$$\frac{a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + ... + a_0}{b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_0} = \frac{a_m}{b_n}x^{m-n} + \frac{a_{m-1}b_n - b_{n-1}a_m}{b_n^2}x^{m-n-1} + ...$$

و با توجه به اینکه $ m-n = q $ عبارت بالا برابر است با

$$\frac{a_m}{b_n}x^{q} + \frac{a_{m-1}b_n - b_{n-1}a_m}{b_n^2}x^{q-1} + ...$$

با توجه به اینکه :

$$ (x+c)^n = x^n + ncx^{n-1} + ... + c^n $$

می توان عبارت زیر را با استفاده از دو جمله اول مقدار بالا تخمین زد:

$$ \sqrt[n]{x^n + ncx^{n-1} + ... } \approx \sqrt[n]{(x+c)^n} = x + c $$

مقداری که بدست آمده در صورت زوج بودن $n$ باید در قدر مطلق باشد. پس بوسیله این روش میتوانیم عبارت زیر رادیکال را تخمین بزنیم و حد آن را در بی نهایت بدست آوریم.

$$ \sqrt[q]{\frac{a_m}{b_n}x^{q} + \frac{a_{m-1}b_n - b_{n-1}a_m}{b_n^2}x^{q-1} + ...} - \sqrt[q]{\frac{a_m}{b_n}}x \approx \\ \sqrt[q]{\frac{a_m}{b_n}}(\frac{\frac{a_{m-1}b_n}{a_m} - b_{n-1} }{qb_n}) $$

مقدار بالا را با فرض فرد بودن $q$ نوشتم در صورت زوج بودن q بر اساس آنچه بیشتر گفتم عبارت نیازمند قدر مطلق بوده و $x$ حذف نمیشد و حد واگرا بود.

Answer 2

$$ f(x)=(\frac{a_mx^m+...+a_0} {b_nx^n+...+b_0})^\frac{1}{q}-(\frac{a_m}{b_n})^\frac{1}{q}x$$ $$A=\frac{a_{m-1}}{xa_m}+...+\frac{a_0}{x^ma_m}$$ $$B=\frac{b_{n-1}}{xb_n}+...+\frac{b_0}{x^nb_n}$$ $$f(x)=x(\frac{a_m}{b_n})^\frac{1}{q}((\frac{1+A}{1+B})^\frac{1}{q}-1) $$ $$ x \rightarrow -\infty \Rightarrow A\approx 0 \ ,B\approx0$$ $$ \Rightarrow f(x)=x(\frac{a_m}{b_n})^\frac{1}{q}(((1+A)(1-B))^\frac{1}{q}-1) $$ $$f(x)=x(\frac{a_m}{b_n})^\frac{1}{q}(((1+A-B))^\frac{1}{q}-1) $$ $$ f(x)=\frac{x}{q}(\frac{a_m}{b_n})^\frac{1}{q}((A-B))$$ $$ f(x)=\frac{1}{q}(\frac{a_m}{b_n})^\frac{1}{q}(x(\frac{a_{m-1}}{xa_m}+...+\frac{a_0}{x^ma_m}-\frac{b_{n-1}}{xb_n}-...-\frac{b_0}{x^nb_n}))$$ $$ \Rightarrow \color{#A00}{ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=}\color{#A00}{\frac{1}{q}(\frac{a_m}{b_n})^\frac{1}{q}((\frac{a_{m-1}}{a_m}-\frac{b_{n-1}}{b_n}))}$$