حد زير را حساب كنيد $ \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^n \frac{\sin \frac in}{n+\frac 1i}$

Question

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\sin( \frac{1}{n}) }{n+1}+ \frac{\sin( \frac{2}{n} )}{n+ \frac{1}{2} }+...+ \frac{\sin( \frac{n}{n}) }{n+ \frac{1}{n} }=?$$

Answer 1

اگر قرار دهیم $$A_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac in}{n+\frac 1i}$$

و $$B_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac in}{n}$$

در اینصورت بنابر تعریف انتگرال ریمان واضح است که $$\lim_{n\to\infty}B_n=\int_0^1\sin xdx=1-\cos 1$$

اما از طرفی داریم: $$0\leq B_n-A_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin \frac in}{n}\frac{1}{1+ni}\leq \frac{B_n}{n}$$

اما چون $B_n$ همگراست پس $\frac{B_n}{n}\to 0$ لذا $\lim_{n\to \infty}B_n-A_n=0$ بنابراین $$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac in}{n+\frac 1i}=\int_0^1\sin xdx=1-\cos 1$$