با کمک تعریف حد ثابت کنید که $\lim_{(x,y)\to(0,0)}x\cdot\sin(\frac{1}{|x|+|y|})+x^2=0$

Question

با استفاده از تعریف حد (اپسیلون-دلتا) نشان دهید که:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}x\cdot\sin(\frac{1}{|x|+|y|})+x^2=0$$

Comments

@reyhane82 با سلام. سوالتان را ویرایش کردم، سوال درسته؟

---

سلام بله ممنون

---

در آخر باید به جواب دلتا<(sqrt(episilone-1/2
@reyhane82 برسید

Answer 1

فرض کنیم $|x|< 1$. در این صورت $|x\sin(\frac{1}{|x|+|y|})+x^2|\leq |x\sin(\frac{1}{|x|+|y|})|+|x^2|< |x|+|x|=2\sqrt{x^2}\leq 2\sqrt{x^2+y^2}$

بنابراین برای هر $ \epsilon >0$، کافی است قرار دهیم $ \delta =\frac{ \epsilon}{2} $. در این صورت اگر $\sqrt{x^2+y^2}< \delta $ آنگاه بنابر استدلال فوق $ |x\sin(\frac{1}{|x|+|y|})+x^2| < 2 \delta = \epsilon $

و در نتیجه حکم برقرار است.