هنگامی که $x \rightarrow 0$ داریم $Sin \ x \sim x$ پس میتوان به جای $Sin \ x$ در تابع , $x$ را قرار داد و حد زیر را حساب کنیم :
$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \ \ \frac{x^4\ x^{4} }{(x^3+y^4)^2}=lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \ \ \frac{ x^{8} }{(x^3+y^4)^2}$
برای محاسبه این حد از تغییر مختصات قطبی استفاده می کنیم یعنی قرار می دهیم $x=rcos \ \theta $ و $y=rsin \ \theta $ . پس $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ و چون $(x,y) \rightarrow (0,0)$ پس $r \rightarrow 0$ . بنابراین حد بالا به حد زیر تبدیل می شود :
$lim_{r \rightarrow 0} \ \ \frac{ (rcos \ \theta )^{8} }{((rcos \ \theta )^3+(rsin \ \theta )^4)^2}=lim_{r \rightarrow 0} \ \ \frac{ r^{8} (cos \ \theta)^{8} }{r^6( (cos \ \theta)^{3} +r(sin \ \theta )^4)^2}=lim_{r \rightarrow 0} \ \ r^{2}\frac{ (cos \ \theta)^{8} }{( (cos \ \theta)^{3} +r(sin \ \theta )^4)^2}$
عبارت $\frac{ (cos \ \theta)^{8} }{( (cos \ \theta)^{3} +r(sin \ \theta )^4)^2}$ یک عبارت کراندار است زیرا :
$ \mid \frac{ (cos \ \theta)^{8} }{( (cos \ \theta)^{3} +r(sin \ \theta )^4)^2} \mid \leq \mid \frac{ (cos \ \theta)^{8}}{(cos \ \theta)^{6}} \mid = (cos \ \theta)^{2} \leq 1 $
می دانیم $0$ $=$ عبارت کراندار $ \times $$0$ پس :
$lim_{r \rightarrow 0} \ \ r^{2}\frac{ (cos \ \theta)^{8} }{( (cos \ \theta)^{3} +r(sin \ \theta )^4)^2}=0$
بنابراین :
$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{x^4\sin^4x}{(x^3+y^4)^2}=0$
