حاصل حد $\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin(x)}{x^3}$ را بدون استفاده از هم ارزی و هوپیتال به دست آورید.

Question

حد $\lim_{x\to 0}\frac{x -\sin x }{ x^{3} }$ را بدون استفاده از هم‌ارزی و هوپیتال بیابید.

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

فرض کنید که $L=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$ موجود باشد. در اینصورت داریم:

$$\begin{align}L&=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{2\frac x2-2\sin \frac x2\cos \frac x2 }{8(\frac x2)^3}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{2\frac x2-2\sin\frac x2+2\sin\frac x2-2\sin \frac x2\cos \frac x2 }{8(\frac x2)^3}\\ &=\frac 28\lim_{x\to 0}\frac{\frac x2-\sin\frac x2}{(\frac x2)^3}+\frac 28\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac x2(1-\cos \frac x2)}{(\frac x2)^3}\\ &=\frac 14L+\lim_{x\to 0}\frac{\frac x2(2\sin ^2\frac x4)}{\frac x2(\frac x4)^2}\\ &=\frac 14L+\frac 18\end{align}$$

بنابراین $\frac 34L=\frac 18$ یا $L=\frac 16$

Comments

خوب پاسخ حد دوم که 1/8 شد رو چطور محاسبه کردید؟ اونجا باز از هم ارزی استفاده کردید که؟

---

@salman
این دیگه قضیه معروفیه که $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
برای دیدن یک اثبات اینجا رو ببینید:http://math.irancircle.com/113/

---

سلام
از کجا میدونیم که این تابع حد دارد و حد این تابع برابر مقدار L می باشد؟چطور اینو توجیه میکنید؟

---

@عقیل+خلیلاوی
سوال این‌نیست. سوال اینه که ما میدونیم حد وجود دارد(مثلا با استفاده از هم ارزی یا هوپیتال یا روش های دیگه میتونید نشون بدید که حد وجود دارد!) و حالا میخواهیم به کمک روشی جز هم ارزی و هوپیتال حاصل حد رو بدست بیاریم.

Answer 2

با سه بار استفاده از قانون هوپیتال می توان به جواب سوال رسید.

$ \dfrac{x-sin(x)}{x^3} \Longrightarrow \dfrac{1-cos(x)}{3x^2} \Longrightarrow \dfrac{sin(x)}{6x} \Longrightarrow \lim_{x \to 0} \dfrac{cos(x)}{6}=\dfrac{1}{6} $

Comments

اگر به سوال دقت کنید نوشته بدون استفاده از هم ارزی و هوپیتال !

---

@keyvan1371
سلام آن وقتی من داشتم مینوشتم فقط نوشته بود هم ارزی سوال رو تغییر دادند!

---

سلام بله ببخشید، هوپیتال را بعدا لحاظ کردم، اون لحظه هوپیتال را درنظر نگرفته بودم

Answer 3

بسط مک لورن تابع $sin (x)$ حول نقطه $x=o$ به صورت زیر است : $$sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$ حال در حد بالا جاگذاری می کنیم : $$ \begin{align}lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-sin(x)}{x^3}&=lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...)}{x^3}\\&=lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{3!}-\frac{x^2}{5!}+\frac{x^4}{7!}-...)\\&=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\end{align} $$

Comments

@keyvan1371
سلام سوال در سطح دبیرستان مطرح شده، در دبیرستان بسط مک لورن تدریس نمیشود.

---

سلام . بله حق با شماست . راه حل دیگری برایتان می نویسم .

---

@keyvan1371
من فکر میکردم منظور از هم ارزی که ستفاده میشه همین استفاده کردن از بسط مک لورن(یک یا چند جمله ی ابتدایی) هست. غیر از اینه؟