محاسبه حد $\lim_{x\to 0}x\sin(\frac{1}{x})$

Question

الف) نشان دهید که به ازای هر $x\neq 0$ ، $$-|x|\leq x\sin(\frac{1}{x})\leq |x|$$

ب) با استفاده از قضیه ساندویچ و نابرابری مذکور در قسمت (الف)، $\lim_{x\to 0}x\sin(\frac{1}{x})$ را محاسبه کنید.

Comments

متن پرسش‌تان را باید تایپ کنید. قرار دادن شکل فقط برای «شکل» است نه نوشتار! بعلاوه برچسب «ترکیبیات» چه ربطی به این پرسش دارد؟ عنوان را نیز بهتر می‌توانستید انتخاب کنید، برای مثال $xsin(\frac{1}{x})$ را در عنوان می‌آوردید.

---

تصور کنید اگر همه وقتی سوالی در مورد حد دارند عنوانی مثل عنوان شما بنویسند. در اینصورت بعدا کاربران برای جستجوی سوالات چقدر به مشکل بر می خورند.
ثانیا چه نیازی به همچین عکسی بود؟ شما رفتید زحمت کشیدید و نوشتید و عکس گرفتید و آپلود کردید خوب همینجا از امکان ریاضی استفاده می کردید خیلی ساده تر بود! و امکان سرچ حد را هم بعدا فراهم می کرد.
و تصور کنید اگر سوال را بهتر می نوشتید الان بجای اینکه مدیران وقت بگذارند  تذکر بدهند جواب سوالتان را می دادند.

---

آخه من هرچی سعی می کنم بنویسم نمیشه.
مثلا وقتی می نویسم دلتا شکل دلتا نمی یاد بلکه می نویسه dellta
تو راهنما هم رفتم ولی چیزی در این باره نبود.

---

من سوال رو براتون ویرایش کردم و عکس رو پاک نکردم فعلا. لطفا شما روی ویرایش کلیک کنید و نگاه کنید چطوری ریاضی تایپ شده است.
در قسمت راهنما هم توضیح داده شده. فرمول های ریاضی باید در بین دو علامت دلار $\$$ قرار گیرند. مثلا $\delta$ یا $\Delta$

---

ازتون خیلی ممنونم
ببخشید من تازه واردم
کم کم یاد میگیرم

Answer 1

ازآنجائیکه $-1 \leq sin( \frac{1}{x}) \leq 1 $ درصورتی که

$x> 0$آنگاه: $-x \leq xsin( \frac{1}{x}) \leq x $

یا $x< 0 $ آنگاه: $-x \geq xsin( \frac{1}{x}) \geq x $

پس برای هر $x \neq 0$,$-|x| \leq xsin( \frac{1}{x}) \leq |x| $

درست است که $ \lim_{x \rightarrow 0}sin( \frac{1}{x}) $ حدندارد باتوجه به کراندار بودن این تابع و مطالب فوق و قضیه ساندویچ از آنجائیکه

$\lim_{x \rightarrow 0}(-|x|)=\lim_{x \rightarrow 0}(|x|)=0$

درنتیجه $\lim_{x \rightarrow 0}xsin( \frac{1}{x})=0$