اگر $f(x)$ یک چندجمله ای باشد، آنگاه ثابت کنید که $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.

Question

فرض کنید که $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0$ یک تابع چندجمله‌ای دلخواه باشد، آنگاه ثابت کنید که

$$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\ldots+a_0$$

Comments

@aaa به ویرایشی که بر روی عنوان و متن پرسش‌تان انجام دادم نگاه کنید. و اما پرسش شما، در واقع پیوسته بودن تابع‌های چندجمله‌ای را می‌پرسد.

Answer 1

ابتدا از قضایا در حد کمک می‌گیریم :

$$\lim_{x\to c} (a\cdot f(x) ) =a\cdot\lim{f(x)}\tag{1}$$

$$\lim_{x\to c} (g(x)\cdot f(x) ) =\lim_{x\to c} g(x)\cdot\lim{f(x)}\tag{2}$$ $$\lim_{x\to c} (g(x)+ f(x) ) =\lim_{x\to c} g(x)+\lim{f(x)}\tag{3}$$

با این شرط که حد $f(x) ,g(x)$ در نقطه مورد نظر وجود داشته باشد . و همچنین می‌دانیم که : $$\lim_{x\to c} (x) =c\tag{4}$$

حال با توجه به این نکات خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to c} =\lim_{x \to c} f(x):= \big(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\big)=?$$ $$\begin{array}{c} a_n\lim_{x\to c} \big( \underbrace{x\cdot x \cdot \cdot \cdot x}_{n} \big) =a_nc^n\\ a_{n-1}\lim_{x\to c} \big( \underbrace{x\cdot x \cdot \cdot \cdot x}_{n-1} \big) =a_{n-1}c^{n-1}\\ \vdots\\ \lim_{x\to c} a_0 =a_0 \end{array}$$

حال همه رو با هم جمع می‌کنیم خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to c} f(x)=a_nc^n +a_{n-1}c^{n-1}+...+a_0$$