آیا همواره گزاره $\lim_{x \to a}f(g(x))=\lim_{x \to g(a)}f(x)$ صحیح است؟

Question

$$\lim_{x \to a}f(g(x))=\lim_{x \to g(a)}f(x)$$

به کمک تعریف حد در صورت درستی گزاره بالا آن را اثبات و در صورت نادرستی گزاره آن را نقض کنید.

Answer 1

این گزاره نادرست است. به عنوان مثال فرض کنید $f(x)=x$ و $g(x)=[x]$ یعنی جزء صحیح عدد $x$. در این صورت چون $g(2)=2$ پس $\lim_{x\to g(2)} f(x)=\lim_{x\to 2} f(x)= 2$ ولی $\lim_{x\to 2} f(g(x))$ موجود نیست. در واقع $\lim_{x\to 2^{+}} f(g(x))=2$ ولی $\lim_{x\to 2^{-}} f(g(x))=1$