$$\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)e^x}{e^x}$$
در اینجا داریم $\lim_{x\to \infty}e^x=\infty$ و $(e^x)'=e^x\neq 0$ برای هر $x$ و
$$\lim_{x\to \infty}\frac{(f(x)e^x)'}{(e^x)'}=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)e^x+f(x)e^x}{e^x}=\lim_{x\to \infty}f(x)+f'(x)$$
که طبق فرض موجود است.
پس می توانیم از قاعده هوپیتال استفاده کنیم(در واقع در قاعده هوپیتال می بایست حد صورت و مخرج هر دو صفر شود یا هردو بی نهایت شود ولی می توان نشان داد که اگر فقط حد مخرج بی نهایت شود باز هم می توان از قاعده هوپیتال استفاده کرد. به عنوان مثال به اثبات قضیه هوپیتال در ویکی پدیای انگلیسی نگاه کنید.)
از هوپیتال داریم
$$\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)e^x}{e^x}=\lim_{x\to \infty}\frac{(f(x)e^x)'}{(e^x)'}=l$$
و لذا باید $\lim_{\to\infty}f'(x)=0$ .
