برای توابع $f,g$ پیوسته و مشتق پذیر بر یک بازه اگر $f(a)g(b)=g(a)f(b)$ نشان دهید $ \frac{f'(c)}{f(c)}=\frac{g'(c)}{g(c)}$

Question

فرض کنیم $f$ و $g$ توابعی پیوسته بر$[a,b]$ و مشتق پذیر بر$(a,b)$ باشند بطوریکه در هیچ نقطه ای صفر نشوند ثابت کنید اگر $f(a)g(b)=g(a)f(b)$آنگاه وجود دارد یک $c$ عضو$(a,b )$ که:

$G (c)/g (c)=F (c)/f (c)$

$G,F$ مشتق $f,g$ هستند

Answer 1

توجه کنید که چون این دو تابع در نقطه‌های $a$ و $b$ صفر نمی‌شوند می‌توان طرفین وسطین ساده زیر را داشت. $$\frac{f}{g}(a)=\frac{f}{g}(b)$$ اکنون از قضیهٔ مقدار میانی دارید $c\in(a,b)$ که $(\frac{f}{g})'(c)=0$. و این یعنی $$\frac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g^2(c)}=0$$ و در نتیجه $f'(c)g(c)-f(c)g'(c)=0$. اکنون فرض اینکه برای هر نقطه میان $a$ و $b$ هیچ یک از دو تابع $f$ و $g$ صفر نمی‌شوند این اجازه را می‌دهد که طرفین‌وسطین زیر را داشته‌باشیم. $$\frac{f'(c)}{f(c)}=\frac{g'(c)}{g(c)}$$