به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–2 امتیاز
137 بازدید
در دانشگاه توسط Khode_M2 (-1 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید دو تابع روی بازه بسته $[-1,1]$ پیوسته و روی بازه باز $(-1,1)$ مشتق‌پذیر باشد و مقدار دو تابع در ابتدا و انتهای بازه برابر باشد. اثبات کنید که یک نقطه مانند $c$ در بازه باز $(-1,1)$ وجود دارد که مشتق دو تابع در این نقطه برابر است.

توسط AmirHosein (18,522 امتیاز)
@Khode_M2 تفاضل دو تابع را نگاه کنید.
توسط Khode_M2 (-1 امتیاز)
–2
@AmirHosein میشه کامل‌تر بگین؟ ما تابعی نداریم الان. کل سوال همینه.
توسط AmirHosein (18,522 امتیاز)
@Khode_M2 یعنی چی تابعی نداریم؟ ئه ئه حتی فارسی‌وار متن پرسش را بخوانید شروع کرده «فرض کنید دو تابع ...»! تابعی نداریم؟
توسط Khode_M2 (-1 امتیاز)
–2
@AmirHosein بنده متوجه نشدم منظورتون از تفاضل دو تابع چیه. اگه لطف کنین راه حل رو بنویسین ممنون میشم.
توسط AmirHosein (18,522 امتیاز)
+1
@Khode_M2 من خواستم راهنمایی‌تان کنم تا خودتان فکر کنید. پرسش نگفته‌است فرض کنید دو تابع دارید؟ تفاضل دو تابع یک تابع جدید می‌شود که در هر نقطه مقدارش برابر با تفاضل مقدار دو تابع دیگر می‌شود! اکنون با فرض‌هایی که در مورد دو تابع اولیهٔ پرسش دارید، در مورد این تابع جدید چه چیزهایی می‌توانید بفهمید؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (17,327 امتیاز)

قضیه مقدار میانگین را به یاد آورید. این قضیه می گوید

اگر $F:[a,b]\to \mathbb R$ تابعی پیوسته باشد که بر $(a,b)$ مشتق پذیر است آنگاه $c\in (a,b)$ موجود است که $$F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$$

حال در مساله شما ما دو تابع مثل $f,g$ داریم که بر روی $[-1,1]$ پیوسته و بر بازه $(-1,1)$ مشتق پذیرند. به علاوه بنابر فرض مساله $f(-1)=g(-1)$ و $f(1)=g(1)$.

حال بنابر راهنمایی @AmirHosein تفاضل این دو تابع را برابر تابع جدیدی مثل $h$ بگیریم؛ یعنی $h=f-g$. در اینصورت باید بدانید که تفاضل دو تابع پیوسته باز تابعی پیوسته و تفاضل دو تابع مشتق پذیر باز تابعی مشتق پذیر است. پس حالا ما در شرایط زیر هستیم:

تابع $h$ بر بازه $[-1,1]$ پیوسته و بر بازه $(-1,1)$ مشتق پذیر است. پس بنابر قضیه مقدار میانی که اشاره شد، $c\in (-1,1)$ ی موجود است که

$$h'(c)=\frac{h(1)-h(-1)}{1-(-1)}$$

اما از طرفی

$$\begin{align} h(1)-h(-1)&=(f(1)-g(1))-(f(-1)-g(-1))\\ &=(f(1)-f(-1))-(g(1)-g(-1))\\ &=0 \end{align}$$

پس بنابر رابطه قبلی داریم:

$$h'(c)=\frac{h(1)-h(-1)}{1-(-1)}=\frac 02=0$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...