قضیه مقدار میانگین را به یاد آورید. این قضیه می گوید
اگر $F:[a,b]\to \mathbb R$ تابعی پیوسته باشد که بر $(a,b)$ مشتق پذیر است آنگاه $c\in (a,b)$ موجود است که
$$F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$$
حال در مساله شما ما دو تابع مثل $f,g$ داریم که بر روی $[-1,1]$ پیوسته و بر بازه $(-1,1)$ مشتق پذیرند. به علاوه بنابر فرض مساله $f(-1)=g(-1)$ و $f(1)=g(1)$.
حال بنابر راهنمایی @AmirHosein تفاضل این دو تابع را برابر تابع جدیدی مثل $h$ بگیریم؛ یعنی $h=f-g$. در اینصورت باید بدانید که تفاضل دو تابع پیوسته باز تابعی پیوسته و تفاضل دو تابع مشتق پذیر باز تابعی مشتق پذیر است. پس حالا ما در شرایط زیر هستیم:
تابع $h$ بر بازه $[-1,1]$ پیوسته و بر بازه $(-1,1)$ مشتق پذیر است. پس بنابر قضیه مقدار میانی که اشاره شد، $c\in (-1,1)$ ی موجود است که
$$h'(c)=\frac{h(1)-h(-1)}{1-(-1)}$$
اما از طرفی
$$\begin{align}
h(1)-h(-1)&=(f(1)-g(1))-(f(-1)-g(-1))\\
&=(f(1)-f(-1))-(g(1)-g(-1))\\
&=0
\end{align}$$
پس بنابر رابطه قبلی داریم:
$$h'(c)=\frac{h(1)-h(-1)}{1-(-1)}=\frac 02=0$$
