به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
305 بازدید
در دانشگاه توسط akram1

سلام دوستان من دنبال یک منبعی میگردم که در آن جواب این سوالم را پیدا کنم. تحت چه فرضیاتی مشتق راست (چپ) یک تابع در یک نقطه با حد راست (چپ) تابع مشتق در آن نقطه برابر است؟ من مثالی دیده ام که تابع در یک نقطه مشتق پذیر است اما حد تابع مشتق در ان نقطه وجود ندارد. لطفا اگر قضیه ای در این زمینه وجود اثبات آن را برایم بگذارید. همچنین کتابی که این قضیه در آن آمده است را لطفا به من معرفی کنید با تشکر

توسط fardina
به عنوان مثال در کتاب های آنالیز ریاضی رودین و بارتل در قسمت تمرینات، اثبات چنین سوالی خواسته شده است.

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط fardina
انتخاب شده توسط akram1
 
بهترین پاسخ

قضیه: تابع پیوسته $f:[a, b]\to \mathbb R$ بر $(a, b)$ مشتقپذیر است و $\lim_{x\to a^+}f'(x)=l$ در اینصورت $f$ در $a$ از راست مشتقپذیر بوده و $f'_+(a)=l$ .

اثبات: باید ثابت کنیم $f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =l$ .

فرض کنید $\epsilon> 0$ داده شده باشد چون $ \lim_{x\to a^+}f'(x)=l $ پس $\delta> 0$ موجود است که $$a< x< a+\delta\implies |f'(x)-l|< \epsilon\tag{*}$$

اما بنابر قضیه مقدار میانگین برای هر $a< x< a+\delta$ یک $c_x\in (a, x)$ موجود است که $f'(c_x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

بنابراین برای $\delta> 0$ یافت شده بنابر $*$ داریم:

$$a, x< a+\delta \implies |\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-l|=|f'(c_x)-l|< \epsilon$$

لذا حکم ثابت شد.

+1 امتیاز
توسط fardina

یک استدلال ساده تر با استفاده از قاعده هوپیتال:

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

اما چون $\lim_{x\to a}f(x)-f(a)=0$ و $\lim_{x\to a}x-a=0$ و $(x-a)'=1\neq 0$ و $\lim_{x\to a}f'(x)$ موجود است بنابر هوپیتال داریم

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(f(x)-f(a))'}{(x-a)'}=\lim_{x\to a}f'(x)$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...