آیا مشتق راست (چپ) یک تابع در یک نقطه با حد راست (چپ) تابع مشتق در آن نقطه برابر است؟

Question

سلام دوستان من دنبال یک منبعی میگردم که در آن جواب این سوالم را پیدا کنم. تحت چه فرضیاتی مشتق راست (چپ) یک تابع در یک نقطه با حد راست (چپ) تابع مشتق در آن نقطه برابر است؟ من مثالی دیده ام که تابع در یک نقطه مشتق پذیر است اما حد تابع مشتق در ان نقطه وجود ندارد. لطفا اگر قضیه ای در این زمینه وجود اثبات آن را برایم بگذارید. همچنین کتابی که این قضیه در آن آمده است را لطفا به من معرفی کنید با تشکر

Comments

به عنوان مثال در کتاب های آنالیز ریاضی رودین و بارتل در قسمت تمرینات، اثبات چنین سوالی خواسته شده است.

Answer 1

قضیه: تابع پیوسته $f:[a, b]\to \mathbb R$ بر $(a, b)$ مشتقپذیر است و $\lim_{x\to a^+}f'(x)=l$ در اینصورت $f$ در $a$ از راست مشتقپذیر بوده و $f'_+(a)=l$ .

اثبات: باید ثابت کنیم $f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =l$ .

فرض کنید $\epsilon> 0$ داده شده باشد چون $\lim_{x\to a^+}f'(x)=l$ پس $\delta> 0$ موجود است که

$$a< x< a+\delta\implies |f'(x)-l|< \epsilon\tag{*}$$

اما بنابر قضیه مقدار میانگین برای هر $a< x< a+\delta$ یک $c_x\in (a, x)$ موجود است که $f'(c_x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

بنابراین برای $\delta> 0$ یافت شده بنابر $*$ داریم:

$$a, x< a+\delta \implies |\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-l|=|f'(c_x)-l|< \epsilon$$

لذا حکم ثابت شد.

Answer 2

یک استدلال ساده تر با استفاده از قاعده هوپیتال:

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

اما چون $\lim_{x\to a}f(x)-f(a)=0$ و $\lim_{x\to a}x-a=0$ و $(x-a)'=1\neq 0$ و $\lim_{x\to a}f'(x)$ موجود است بنابر هوپیتال داریم

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(f(x)-f(a))'}{(x-a)'}=\lim_{x\to a}f'(x)$$