مشتق در یک نقطه و تابع مشتق

Question

سلام .

ما تابعی داریم که در بازه ی $(a,b)$ تعریف شده است . و $c$ هم نقطه ایی درونه بازه ی $(a,b)$ باشد . در این صورت ما تابع جدیدی به صورت زیر تولید میکینیم:

$$m(x)= \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$

که دامنه ی این تابع $x$ هایی هستند که در ضابطه ی تابع $m$تعریف میشوند .

حال ما مشتق در نقطه ی $c$ رو به صورت زر تعریف میکنیم :

$$\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} =f'(c)$$

اگر این حد موجود باشد.

خوب حالا ما توانستیم مشتق تابع $f$ در نقطه ی $c$ رو بدست بیاورم .

یعنی ما مشتق در یک نقطه از تابع رو بدست آوردیم . حالا اگر بخواهیم تابعیی به دست بیاورم که مشتق تابع $f$ در همه نقاط دامنه اش رو به ما بدهد چگونه عمل میکنیم .چه تابعیی باید تعریف کنیم . و چگونه ؟

Answer 1

من که از مطالبی که نوشتید متاسفانه زیاد سر در نیاوردم. ولی گویا شما می خواهید تعریف تابع مشتق را بدانید؟

فرض کنید $f:D\subseteq \mathbb R\to \mathbb R$ تابعی با دامنه $D$ باشد. در اینصورت $g:D'\subseteq D\to \mathbb R$ را تابع مشتق تابع $f$ گوییم هر گاه دامنه آن یعنی $D'$ برابر باشد با:

$$D'=\{x\in D: f'(x)\ موجود \ باشد\}$$ و برای هر $x\in D'$ داشته باشیم $g(x)=f'(x)$.

تابع $g$ را بطور ساده با $f'$ نمایش می دهیم $f':D'\to \mathbb R$ که $x\to f'(x)$ .

Comments

@fardina
خیلی ممنون .
بله همون تابع مشتق منظورم بود .
میخواستم بدونم چطوری باید تابع مشتق رو بدست بیاوریم ؟
ما در تعریف فقط مشتق رو برای یک نقطه تعریف کردیم نه همه نقاط .

---

@amirm
با روشهای مشتق گیری که یاد گرفتید. کافیه نقطه رو در حالت کلی $x$ بگیرید و ضابطه ای برای تابع مشتق بیابید. مثلا تابع مشتق $f(x)=\sqrt x$ برابر است با $\frac{1}{\sqrt x}$ و مثال های دیگر...