مشتق پذیری در یک نقطه

Question

سلام

سوالی داشتم در مورد مشتقپذیری :

تابع ای در نظز بگیرید . ما میگوییم که مقدار تابع $c \in D_f$ وجود داشته باشد. و مشتق چپ و راست وجود داشته باشد و برابر باشند . گوییم در آن نقطه مشتق پذیر است .

حالا مشتق در چند جا مشتق ناپذیر است :

اگر در نقطه ی $c$ ناپیوسته باشد .

مشتق راست یا چپ وجود داشته باشد ولی برابر نباشند .

مشتق راست یا چپ یکی متناهی و دیگری نامتناهی باشد .

مشتق راست و و چپ نا متناهی و هم علامت باشند .

مشتق راست و چپ نا متناهی و مختلف العلامت باشند .

مشتق راست یا چپ تعریف نشده باشد یکیشون یا هردو شون .

این تمام حالاتی بودکه مشتق در یک نقطه وجود نداشته باشد .

حالا اگر ی تابعی به ما دادن و مشتق پذیری آنرا در ی نقطه دادن از ما بخواهند .

ابتدا باید مقدا در آن نقطه را بدست بیاوریم . و سپس مشتق راست وچپ را محاسبه کنیم و ببینیم مشتق وجود دارد یا خیر .

ولی این خیلی راه طولانیه ایی هست . آیا راهی دیگری هم هست که بتوانیم مشتق پذیری در یک نقطه تشخیص بدهیم .؟

خیلی ممنون

Answer 1

در کل راه حل همان است که با استفاده از تعریف مشتق بررسی کنیم که آیا تابع مورد نظر در یک نقطه مشتق پذیر است یا خیر.

اما ممکن است در بعضی توابع در بعضی نقاط قضیه زیر به کار آید. (هرچند من مطمئن نیستم که این هم راه سریعتری باشد!)

قضیه: اگر $f:[a, b]\to \mathbb R$ روی $[a,b)$ پیوسته و روی $(a, b)$ مشتق پذیر باشد و $\lim_{x\to a^+}f'(x)$ موجود باشد در اینصورت $f$ در $a$ از راست مشتق پذیر است و داریم $f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}f(x)$

• حکم مشابهی برای مشتق چپ در نقطه ی $b$ داریم.

• و اگر $f:(a, b)\to \mathbb R$ پیوسته و به ازای هر $x\neq c\in (a, b)$ مشتق پذیر باشد و $\lim_{x\to c}f'(x)$ موجود باشد در اینصورت $f$ در $c$ مشتقپذیر است و $f'(c)=\lim_{x\to c}f'(x)$ .

به عنوان مثال برای بررسی مشتق پذیری $f(x)=|x|$ در $x=0$ اولا این تابع روی $[0,1]$ پیوسته و در $(0,1]$ مشتقپذیر است چون روی این بازه برابر است با $f(x)=x$ و به علاوه $\lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^+}1=1$ بنابر این از راست مشتقپذیر است و $f'_+(0)=1$ .

و به طور مشابه می توان نشان داد $f'_-(0)=-1$ .

به همین ترتیب می توانید از این قضیه مشتق پذیری را برای توابعی مثل $f(x)=|x+1|-4|x-3|$ در $x=-1$یا $x=3$ بررسی کنید. یا مشتق پذیری $f(x)=x\lfloor x+1\rfloor$ در $x=0$ را بررسی کنید.

Comments

به نظر میرسه منظور ایشان همان قضیه ای است که در پاسخ به آن اشاره کردم.

---

@fardina
پس الان اگر بخواهیم بفهمییمدر یک نقطه مشتق پذیر است یا خیر .
از تابع مشتق گرفته
و پیوستگی تابع مشتق در نقطه مورد نظر رو برزسی میکنیم اگر پیوسته بود مشتق پذیر است ..اگر نبود مشتق پذیر نیست .
آیا درسته این راه ؟

---

خیر من چنین چیزی نگفتم.
صورت قضیه رو اگر مطالعه کنید فکر کنم درکش سخت نباشه. ما میخوایم ببینیم یک تابع آیا در نقطه $x_0$ مشتقپذیر است یا خیر. برای این منظور مشاهده میکنیم که تابع در یک همسایگی راست این نقطه مثل $[x_0,x_0+r)$ پیوسته است و در همسایگی راست آن مثل $(x_0,x_0+r)$ مشتقپذیر است و حد تابع مشتق در $x_0$ موجود است یعنی $\lim_{x\to x_0^+} f'(x)$ موجود است ور اینصورت حتما مشتق راست این تابع در $x_0$ موجود است(و صورت مشابهی برای مشتق از چپ داریم). این حرف به معنای پیوستگی تابع مشتق در این نقطه نیست. بلکه قضیه می گوید حد تابع مشتق موجود باشد.

---

سلام دوست گرامی
 میشه لطفا بفرمایید این قضیه رو از چه کتاب یا منبع موثقی پیدا کردید؟ من خیلی گشتم نتوانستم این قضیه و اثبات آن را بیابم؟
با تشکر

---

@akram1
سلام. این قضیه معروف هست و فکر کنم در اکثر کتاب های آنالیز ریاضی موجود هست.
اگر خواستید یک سوال مشابه ایجاد کنید و اثبات رو بخواید که من یا کاربران دیگه اثبات رو براتون بنویسیم.

Answer 2

با سلام. برای مشتق پذیری در یک نقطه مراحل زیر را طی میکنیم: ۱- بررسی مقدار داشتن تابع و داشتن حد چپ و راست و برابر بودن همه با هم (یعنی همون پیوسته بودن) ۲-اگر شرط اول برقرار بود داشتن و برابری مشتق چپ و راست را بررسی میکنیم. ۳- اگر هر دو شرط برقرار بود تابع در نقطه مورد نظر مشتق پذیر است و اگر هر کدام از آنها برقرار نبود مشتق پذیر نیست.