با سلام : سوال داشتم در مورد مشتق پذی در آنالیز ریاضی .
در چند تا کتاب دیدم که تعاریف متفاوتی داشتند و میخوام بدونم کدوم درستره و کلی تره . و چند تا مشکل هم توشون دارم ممنون میشم کمک کنید .
تابع $f:A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ در نقطه $a \in \mathbb{R}$ که نقطه درونی $A$ است را مشتق پذیر گوییم هرگاه :
نگاشت خطی $df_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ وجود داشته باشد که :
$$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)-(f(a)+df_{a}(x-a))}{x-a}=0$$
و بعد تعریف میکنند :
الف :) بهترین تقریب خطی تابع $f$ در نقطه $a$ :
$$L(x) =f(a)+df_a(x-a)$$
ب:) دیفرانسیل تابع $f$ در نقطه $a$ :
$$df_{a}(x-a)$$
در بعضی جاها .. هم صورت و هم مخرج این کسرو قدر مطلق میذارن و بعضی جاها فقط مخرج رو قدر مطلق میذاره . وبعضی جاها اصلا قدر مطلق نمیذارن . حالا کدوم درسته ؟
و تغریف دیگر مشتق پذیری :
تابع $f:A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ در نقطه $a \in \mathbb{R}$ که نقطه درونی $A$ است را مشتق پذیر گوییم هرگاه :
نگاشت خطی $df_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ وجود داشته باشد که :
$$f(x)= f(a)+df_a(x-a) +r(x)$$
و :
$$ \lim_{ x\rightarrow a} \frac{r(x)}{x-a} =0$$
در ان جاها هم مثل قبل :در بعضی جاها .. هم صورت و هم مخرج این کسرو قدر مطلق میذارن و بعضی جاها فقط مخرج رو قدر مطلق میذاره . وبعضی جاها اصلا قدر مطلق نمیذارن . حالا کدوم درسته ؟
اینارو تو چند تا مقاله دیدم . از درست بودنش مطمین نیستم.. ممنون میشم . کمک کنید و مشتق پذیری رو به این صورت تعریف کنید . درستشو بگید خیلی ممنون
