قضیه بین مشتق و تابع های صعودی و نزولی

Question

قضیه زیر را در نظر بگیرید : فرض کنید $y=f(x)$ در بازه $[a,b]$ پیوسته است . و در بازه $(a,b)$ مشتق پذیر است . آنگاه :

الف ) اگر $f'(x) > 0$ تابع روی $[a,b]$ اکید صعودی است .

ب) اگر $f'(x) < 0$ تابع روی $[a,b]$ اکید نزولی است .

حالا سوالی که دارم اینه ایا همواره باید تابعی روی بازه $[a,b]$ پیوسته باشد و روی $(a,b)$ مشتق پذیر . کلی تر از این قضیه نداریم ؟ مثلا بگیم که تابع در بازه ایی دلخواه اکید صعودی است طوری که در تمام نقاط آن مشتقش مثبت باشد . و برای اکید نزولی هم همینطور.

Answer 1

در حالت کلی می توان تابع را پیوسته روی بازه ی دلخواه $I$ بگیرید که در درون این بازه مشتقپذیر باشد. یعنی این بازه می تواند از یک طرف نامتناهی باشد یا از هر دو طرف نامتناهی باشد.

Comments

@fardina  
خیلی ممنون فقط یک سوال :
برعکس قضیه هم درسته .؟مثلا بگیم در یک بازه تابع (با اون شرایط هم مشتق پذیر  هم پیوسته در بازه )اکید صعودی در نتیجه مشتقش مثبته .
و همینطوری اکید نزولی .

---

تابعی که اکیدا صعودی باشه لزوما مشتق پذیر نیست. مثلا $y=\sqrt[3]x$ اکیدا صعودی است ولی در صفر مشتق ناپذیر است.
ولی اگر تابعی مشتق پذیر و اکیدا صعودی باشد آنگاه واضح است که مشتقش نامنفی است.
توجه کنید که مشتقتش نامفی است یعنی مشتق بزرگتر یا مساوی صفر است. مثلا $y=x^3$ اکیدا صعودی و مشتق پذیر است اما مشتق در صفر، صفر می شود.