به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
227 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20
ویرایش شده توسط amirm20

با سلام من تو سایتی قضیه چند جمله ایی تیلور رو دیدم اما فرق میکرد . میخواستم بدونم درسته .!

enter image description here

چند جمله ایی تیلور در نقطه $a$ : enter image description here

اما تو کتاب های عمومی و بیشتر کتا بها نوشته تابع $f$ باید در همسایگی نقطه $a$ باید $n$ بار مشتق پذیر باشد .

مرجع: Irena Swanson Reed College Spring 2016 -Introduction to Analysis

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

قضیه تیلور بیان می کند که اگر $f:[a,b]\to \mathbb R$ تابعی باشد که $n+1$ بار در $(a, b)$ مشتق پذیر و مشتق $n$اُم بر $[a, b]$پیوسته باشد آنگاه $c\in (a, b)$ موجود است که $$f(b)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}$$

یک نتیجه سریع این مطلب ان است که اگر $\alpha,\beta\in [a,b]$ و $\alpha\neq \beta $ در اینصورت می توانید فرمول تیلور را به صورت $$f(\beta)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(\beta-\alpha)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(\beta-\alpha)^{n+1}$$ برای $c$ ای بین $\alpha$ و $\beta$ . و توجه کنید فرقی نمیکنه که $\alpha< \beta$ یا $\beta< \alpha$ همواره می تونید یکیشونو بر حسب اون یکی بنویسید.

در اینجا هم وقتی شما $x\in B(a,r)$ می گیرید یا $x< a$ یا $x> a$ که در هر صورت بنابرچیزی که گفتیم می توانید $c$ بین $x< a$ یا $d$ بین $a< x$ بیابید.

دارای دیدگاه توسط fardina
@amirm20
من که قضیه تیلور رو نوشتم. اون چیزی که شما نوشتین اصلا برای من واضح نیست. یا حداقل مرجعی که اون مطلب رو دیدید بفرستید.
دارای دیدگاه توسط amirm20
@fardina
ویرایش کردم ببینید .
دارای دیدگاه توسط fardina
وقتی تابعی مشتق مرتبه دوم در یک نقطه دارد آن تابع در همسایگی ای از آن نقطه پیوسته است. چون در اینجا $n$ مرتبه مشتق پذیر است لذا مشتق های تا مرتبه $n-1$ در یک همسایگی موجود است و همچنین مشتقات تا مرتبه $n-2$ در یک همسایگی پیوسته خواهند بود. و همینها برای ما کافی هستند تا بتوانیم از قضیه هوپیتال به صورت متوالی استفاده کنیم و قضیه تیلور را اثبات کنیم. البته شما قضیه تیلور رو کامل ننوشتید. اون متن که عکسشو گذاشتید و دوباره مرجعی براش ذکر نکردید فقط تعریف چند جمله ای تیلور رو گفته، نه صورت قضیه رو.
اینجا رو ببینید برای اثباتی از صورت قضیه تیلور که مد نظر شماست:
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem#Proof_for_Taylor.27s_theorem_in_one_real_variable
دارای دیدگاه توسط amirm20
–1
@fardina
ویرایش کردم .
چرا گفتید اگه تابعی در یک نقطه مشتق پذیر باشه در همسایگی اون نقطه پیوسته است ؟
اما من این قضیه رو اینطوری دیدم که اگر در یک نقطه مشتق پذیر باشه در اون نقطه پیوسته است .
دارای دیدگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط admin
+1
@amirm20
من کی گفتم " اگه تابعی در یک نقطه مشتق پذیر باشه در همسایگی اون نقطه پیوسته است" !!!!
گفتم مشتق مرتبه دوم دارد و طبق فرض مشتق مرتبه اول هم پیوسته است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...