تبصره بعد از قضیه 3.5 را بخوانید به طور کامل و گویا معادله بالا را توضیح داده است! به طور کلی می گوید چنانچه تابع f در c مشتقپذیر باشد در اینصورت f در نزدیکی c تابعی است تقریبا خطی.
برای اثبات فرض کنیم f در c مشت پذیر باشد تابع g را روی (a,b) به صورت زیر تعریف کرده است:
g(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}&x\neq c\\ f'(c)& x=c\end{cases}
در اینصورت g در c پیوسته است چون :
\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c)=g(c)
(توجه کنید که چون x\to c پس می توان فرض کرد x\neq c)
و همچنین رابطه f(x)-f(c)=g(x)(x-c) برای هر x\in (a,b) درست است چون اگر x\neq c در اینصورت g(x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c} و لذا f(x)-f(c)=g(x)(x-c) و اگر x=c در اینصورت
0=f(c)-f(c)=g(c)(c-c)='(c)\times 0=0 .
برعکس: فرض کنید تابع g پیوسته در c در معادله f(x)-f(c)=g(x)(x-c) برای هر x\in (a, b) صدق کند در اینصورت برای x\neq c ا تقسیم طرفین بر x-c داریم \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=g(x) با حد گرفتن از طرفین و پیوستگی g داریم:
\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{x\to c}g(x)=g(c)
اما \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c) پس یعنی f'(c) موجود است و برابر است با g(c) .
