تبصره بعد از قضیه 3.5 را بخوانید به طور کامل و گویا معادله بالا را توضیح داده است! به طور کلی می گوید چنانچه تابع $f$ در $c$ مشتقپذیر باشد در اینصورت $f$ در نزدیکی $c$ تابعی است تقریبا خطی.
برای اثبات فرض کنیم $f$ در $c$ مشت پذیر باشد تابع $g$ را روی $(a,b)$ به صورت زیر تعریف کرده است:
$$g(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}&x\neq c\\ f'(c)& x=c\end{cases}$$
در اینصورت $g$ در $c$ پیوسته است چون :
$$\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c)=g(c)$$
(توجه کنید که چون $x\to c$ پس می توان فرض کرد $x\neq c$)
و همچنین رابطه $f(x)-f(c)=g(x)(x-c)$ برای هر $x\in (a,b)$ درست است چون اگر $x\neq c$ در اینصورت $g(x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ و لذا $f(x)-f(c)=g(x)(x-c)$ و اگر $x=c$ در اینصورت
$0=f(c)-f(c)=g(c)(c-c)='(c)\times 0=0$ .
برعکس: فرض کنید تابع $g$ پیوسته در $c$ در معادله $f(x)-f(c)=g(x)(x-c)$ برای هر $x\in (a, b)$ صدق کند در اینصورت برای $x\neq c$ ا تقسیم طرفین بر $x-c$ داریم $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=g(x)$ با حد گرفتن از طرفین و پیوستگی $g$ داریم:
$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{x\to c}g(x)=g(c)$$
اما $ \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c) $ پس یعنی $f'(c)$ موجود است و برابر است با $g(c)$ .
