به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
282 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط

هرگاه تابعی مانند $ f $ در بازه ی $ (a,b) $ تعریف شده باشد و در نقطه ایی مانند $ c $ در این بازه مشتق پذیر باشد .

آنگاه :

تابعی مانند $ g $ وجود دارد . بطوری که :

الف) به $ f,c $ وابسته است .

ب) در $ c$ پیوسته است .

پ) در معادله ی زیر صدق میکند:

$$ \forall x \in (a,b) :f(x)-f(c)=(x-c)g(x)$$

و برعکس این قضیه هم صحیح میباشد .

این قضیه رو من در آنالیز ریاضی اپوستل دیدم فصل $ 5 $ قضیه $ 2.5 $

که برهانش هم نوشته. راستش من نه قضیه و نه برهانشو متوجه شدم .

ممنون میشم یکم برام واضحترش کنید هم قضیه رو هم برهانشو .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

تبصره بعد از قضیه 3.5 را بخوانید به طور کامل و گویا معادله بالا را توضیح داده است! به طور کلی می گوید چنانچه تابع $f$ در $c$ مشتقپذیر باشد در اینصورت $f$ در نزدیکی $c$ تابعی است تقریبا خطی.

برای اثبات فرض کنیم $f$ در $c$ مشت پذیر باشد تابع $g$ را روی $(a,b)$ به صورت زیر تعریف کرده است: $$g(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}&x\neq c\\ f'(c)& x=c\end{cases}$$

در اینصورت $g$ در $c$ پیوسته است چون : $$\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c)=g(c)$$

(توجه کنید که چون $x\to c$ پس می توان فرض کرد $x\neq c$)

و همچنین رابطه $f(x)-f(c)=g(x)(x-c)$ برای هر $x\in (a,b)$ درست است چون اگر $x\neq c$ در اینصورت $g(x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ و لذا $f(x)-f(c)=g(x)(x-c)$ و اگر $x=c$ در اینصورت $0=f(c)-f(c)=g(c)(c-c)='(c)\times 0=0$ .

برعکس: فرض کنید تابع $g$ پیوسته در $c$ در معادله $f(x)-f(c)=g(x)(x-c)$ برای هر $x\in (a, b)$ صدق کند در اینصورت برای $x\neq c$ ا تقسیم طرفین بر $x-c$ داریم $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=g(x)$ با حد گرفتن از طرفین و پیوستگی $g$ داریم: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{x\to c}g(x)=g(c)$$

اما $ \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c) $ پس یعنی $f'(c)$ موجود است و برابر است با $g(c)$ .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...