قضیه تیلور بیان می کند که اگر $f:[a,b]\to \mathbb R$ تابعی باشد که $n+1$ بار در $(a, b)$ مشتق پذیر و مشتق $n$اُم بر $[a, b]$پیوسته باشد آنگاه $c\in (a, b)$ موجود است که
$$f(b)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}$$
یک نتیجه سریع این مطلب ان است که اگر $\alpha,\beta\in [a,b]$ و $\alpha\neq \beta $ در اینصورت می توانید فرمول تیلور را به صورت
$$f(\beta)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(\beta-\alpha)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(\beta-\alpha)^{n+1}$$
برای $c$ ای بین $\alpha$ و $\beta$ . و توجه کنید فرقی نمیکنه که $\alpha< \beta$ یا $\beta< \alpha$ همواره می تونید یکیشونو بر حسب اون یکی بنویسید.
در اینجا هم وقتی شما $x\in B(a,r)$ می گیرید یا $x< a$ یا $x> a$ که در هر صورت بنابرچیزی که گفتیم می توانید $c$ بین $x< a$ یا $d$ بین $a< x$ بیابید.
