مشتق پذیری تابع در یک بازه ی بسته $[a,b]$

Question

با سلام . در ابتدای تعریف مشتق فرض میکنیم که نقطه درونی است و برای آن میگوییم مشتقپذیر است. هرگاه حد خار ج قسمت وجود داشته باشد. پس یعنی در نقاط انتهای دامنه نمیتوانیم مشتق پذیری را بررسی کنیم زیرا نقاط انتها نقاط درونی دامنه نیستند . پس چرا میگویند که : تابع در $[ a,b]$ مشتق پذیر است هرگاه در همه ی نقاط $(a,b)$ مشتق پذیر و مشتق چپ در نقطه ی $b$ و مشتق است در نقطه $a$ موجود باشد. اگر مشتق چپ و راست در نقاط انتها وجود ندشته باشد . چه لطمه وارد میشود ؟ ممنون

Answer 1

در تعریف مشتق جایی نمی‌گوئیم مشتق را فقط برای نقطه‌های درونی تعریف می‌کنیم. بلکه اگر نقطه، درونی بود آنگاه فلان. اکنون که نقطه‌ای فقط با همسایگی چپ یا فقط با همسایگی راست دارید، آنگاه فلان. بنابراین جایی تناقض در این تعریف‌ها نیست.

اکنون تابعی نمونه بزنیم که بر روی یک بازهٔ باز مشتق‌پذیر است اما اگر بازه را ببندیم مشتق‌پذیر نخواهد بود. ساده‌ترین نمونه این است که یک تابع که در یک نقطه مشتق‌پذیر نیست را بردارید و یکی از دو انتهای بازه‌تان را آن نقطه بگیرید. برای نمونه تابع

$$y=\left\lbrace\begin{array}{ll}x\sin(\frac{1}{x}) & ;x\neq 0\\ 0 & ;x=0\end{array}\right.$$ را در نظر بگیرید. این تابع در همه جا از جمله $x=0$ تعریف شده‌است و پیوسته نیز می‌باشد. در همه جا نیز به جز $x=0$ مشتق دارد. اکنون مشتق‌پذیری آن را در بازهٔ $[0,1]$ می‌خواهید بررسی کنید. در تمام نقاطِ $(0,1)$ مشتق دارد، اگر قرار بود نقطه‌های انتهایی برای بررسی مشتق‌پذیری بی‌اثر باشند باید می‌توانستید نتیجه بگیرید که این تابع در $x=0$ نیز مشتق راست دارد در حالیکه این‌گونه نیست.