در تعریف مشتق جایی نمیگوئیم مشتق را فقط برای نقطههای درونی تعریف میکنیم. بلکه اگر نقطه، درونی بود آنگاه فلان. اکنون که نقطهای فقط با همسایگی چپ یا فقط با همسایگی راست دارید، آنگاه فلان. بنابراین جایی تناقض در این تعریفها نیست.
اکنون تابعی نمونه بزنیم که بر روی یک بازهٔ باز مشتقپذیر است اما اگر بازه را ببندیم مشتقپذیر نخواهد بود. سادهترین نمونه این است که یک تابع که در یک نقطه مشتقپذیر نیست را بردارید و یکی از دو انتهای بازهتان را آن نقطه بگیرید. برای نمونه تابع
$$y=\left\lbrace\begin{array}{ll}x\sin(\frac{1}{x}) & ;x\neq 0\\ 0 & ;x=0\end{array}\right.$$
را در نظر بگیرید. این تابع در همه جا از جمله $x=0$ تعریف شدهاست و پیوسته نیز میباشد. در همه جا نیز به جز $x=0$ مشتق دارد. اکنون مشتقپذیری آن را در بازهٔ $[0,1]$ میخواهید بررسی کنید. در تمام نقاطِ $(0,1)$ مشتق دارد، اگر قرار بود نقطههای انتهایی برای بررسی مشتقپذیری بیاثر باشند باید میتوانستید نتیجه بگیرید که این تابع در $x=0$ نیز مشتق راست دارد در حالیکه اینگونه نیست.
