بررسی تعاریف معادل در مشتق پذیری یک تابع در $\mathbb R^m$

Question

تابع $F:U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ در نقطه $a \in U$ مشتق پذیر است اگر وجود داشته باشد یک نگاشت خطی $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ به طوری که $\big(\forall \epsilon > 0 \in \mathbb{R} \big) \big(\exists \delta_{(\epsilon)}>0 \in \mathbb{R}\big) $ به طوری که برای هر $x \in \mathbb{R}^n$ که در شرایط $\parallel \big(x-a \big) \parallel \leq \delta$ صدق میکند نتیجه شود $\parallel F( x)- F( a) - T(x - a)\parallel \leq \epsilon \parallel x - a\parallel$ .

در کتابهای دیگری مشتقپذیری رو به روش دیگر تعریف کرده اند . اینگونه : تابع $F:U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ در نقطه $a \in U$ مشتق پذیر است اگر وجود داشته باشد یک نگاشت خطی $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ به طوریکه : $$\lim_{x \to a} \frac{\parallel F(x)-f(a)-T(x-a)\parallel_{\mathbb{R}^m}}{\parallel x-a \parallel_{\mathbb{R}^n}}=0$$ من چند تا سوال دارم از این دو تعریف . اول اینکه چرا قید نکرده اند باید نقطه مورد نظر $a\in U$ باید نقطه حدی $U$ باشد ؟ آیا این شرط لازم است یا خیر ؟ اگر شرط رو نذاریم دراین صورت نقاط تنها هم باید مشتقپذیر باشند اینطور نیست ؟ و اینکه در تعریف دوم بعضی از کتاب ها نماد $\parallel \parallel$ رو نمیگذارند اما بعضی از کتاب ها میگذارند ؟ آیا فرق دارد گذاشتن و نذاشتن ؟ و اینکه از این دو تعریف کدام جامع تر است ؟ و اینکه چطوری میشه از تعریف اولی به دومی رسید ؟ ممنون میشم سوالات منو جواب بدید

Answer 1

در متن سوال اشاره نکردید که $U$ مجموعه ای باز است و لذا هر نقطه ی آن نقطه ای حدی است. و به علاوه باید برای $x$ های در نزدیکی نقطه داده شده تابع تعریف شده باشد چرا که در تعریف مشتق باید $F(x)$ برای $\|x-a\|< \delta$ تعریف شده باشد که فرض درونی بودن نقطه داده شده این امر را ممکن می کند.

دو تعریف هم با همدیگر معادل هستند. به یاد آورید اگر $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$، منظور از $\lim_{x\to a}f(x)=L$ این است که: $$\forall \epsilon>0\quad\exists \delta>0\quad\forall x(0< \|x-a\|< \delta\implies |f(x)-L|\leq \epsilon)$$

در اینجا $f(x)=\frac{\|F(x)-F(a)-T(x-a)\|}{\|x-a\|}$ و $L=0$در اینصورت شرط $|f(x)-L|\leq \epsilon$ به صورت: $ |\frac{\|F(x)-F(a)-T(x-a)\|}{\|x-a\|}-0|\leq \epsilon $ خواهد بود که اگر ساده کنیم داریم: $ |\frac{\|F(x)-F(a)-T(x-a)\|}{\|x-a\|}|=\frac{\|F(x)-F(a)-T(x-a)\|}{\|x-a\|}\leq\epsilon$ و چون در شرط $ 0< \|x-a\|< \delta $ داریم $x\neq a$ با ضرب طرفین در $\|x-a\|$ داریم: $\|F(x)-F(a)-T(x-a)\|\leq\epsilon\|x-a\|$ همچنین اگر $x=a$ آنگاه مقدار دو طرف عبارت اخیر برابر صفر است که با هم برابرند پس برای هر $\|x-a\|< \delta$ نامساوی برقرار است.

همچنین توجه کنید اگر $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ در اینصورت: $$\lim_{x\to a}f(x)=0\iff \lim_{x\to a}\|f(x)\|=0$$ این خاصیت فقط برای وقتی برقرار است که حد صفر شده باشد.

بنابراین شرط $\lim_{x\to a} \frac{\|F(x)-F(a)-T(x-a)\|}{\|x-a\|}=0 $ با $\lim_{x\to a}\frac{F(x)-F(a)-T(x-a)}{\|x-a\|}=0$ معادل است.

اما نمی توان نرم را از مخرج برداشت چون تقسیم بردار در $\mathbb R^m$ بر بردار در $\mathbb R^n$ معنی ندارد.

Comments

@fardina
خیلی ممنون بابت جواب . یک سوال در چیزی که من نوشتم $\parallel x-a\parallel \leq \delta$ میتواند $x=a$  باشد . اما شما بهصورت $0<\parallel x-a\parallel \leq \delta$ نوشتید . یعنی $x \neq a$ . مگر در ابتدا نگفتیم که $x \in U$ باشد . پس چرا در این نامساوی  قرار ندارد ؟

---

و همچنین دو سوال دیگر . آیا میتوان بگویم $x \in U$ است و همچنین $x$ نقطه ی حدی برای $U$ است بجای اینکه بگوییم $U$ یک مجموعه باز است ؟
و اینکه علامت نرم هم در بعضی از کتاب ها میگذارند یعنی اینکه میگویند مثلا حد فلان زمانی که
$\parallel x-a\parallel \to 0$ یا اینکه $\parallel h \parallel \to 0$ اما چرا زمانی که مینویسند حد فلان زمانی که $ x \to a $ از نرم استفاده نمیشود . و در کل میل کردن در مورد بردار یعنی چی؟

---

در مورد سوال اول لطفا ویرایش شده ی پاسخ را ببینید.
در مورد سوال دوم تفاوتی ندارد چه بگوییم $x\to a$ یا $\|x-a\|\to 0$