فرض کنید $f:\mathbb R\to \mathbb R$ مشتق پذیر بوده و برای هر $x$ داریم $f'(x)\neq 1$. ثابت کنید $f$ حداکثر یک نقطه ثابت دارد.

Question

اگر تابع $f$ در هر نقطه از مجموعهٔ $E$ مشتق‌پذیر باشد، گوییم تابع $f$ برمجموعهٔ $E$ مشتق‌پذیر است.

فرض کنید $f:\mathbb R\to \mathbb R$ مشتق‌پذیر بوده و برای هر $x$ داشته‌باشیم $f'(x)\neq 1$. ثابت کنید $f$ حداکثر یک نقطه ثابت دارد.

Comments

@fhmw گفتن «$f'(x)\neq 1$» با گفتن «در هیچ نقطه‌ای $f'(x)$ برابر ۱ نمی‌شود» هم‌معنا نیست. یکُمی یعنی تابع $f'$ تابع ثابت ۱ نیست که برای نمونه تابع $f(x)=x$ با اینکه تابع ثابت ۱ نیست ولی در نقطهٔ $x=1$ برابر با ۱ می‌شود. اما دومی یعنی ۱ عضوِ بُردِ تابع $f'$ نیست. به شکلی که متن پرسش را نوشته بودید (گفتن مورد یکُم) پرسش‌تان اشتباه می‌بود و مثال نقض داشت.

Answer 1

فرض کنید تابع $f$ دو نقطه ثابت داشته باشد(فرض خلف)

یعنی $x_1, x_2$ وجود داشته باشند به طوریکه $f(x_1)=x_1$ و $f(x_2)=x_2$ و فرض کنیم $x_1< x_2$. در اینصورت بنابر قضیه مقدار میانگین $c\in (x_1, x_2)$ وجود دارد به طوریکه $$f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{x_2-x_1}{x_2-x_1}=1$$

در اینصورت نقطه ای یافته ایم که مشتق در آنجا برابر $1$ است که مخالف فرض مساله است(چون در مساله فرض شده مشتق در هیچ جایی برابر یک نمی شود.)

Comments

@fardina لطفاً توضیح دهید منظور از داشتن یک نقطه ثابت چیست؟ منظور همان نقاط روی تابع $f(x)=x$ است؟ مثلاً برای تابع $f(x)=sin x+3x$ منظور نقطهٔ مبدأ مختصات است؟

---

@good4us
سوالتون از تعریف نقطه ثابت هست؟ اگر اینطوره که بله $x$ نقطه ثابت است هرگاه $f(x)=x$.
در مورد مثالی که که گفتید بله درسته.

---

@fardina متشکرم