بررسی مشتق پذیری توابعی به شکل: $f(x)=|g(x)|$

Question

باسلام . نکته زیر چگونه اثبات میشود :

فرض کنید که $g$ تابع ایی مشتق پذیر در دامنه خود و $f(x)=|g(x)|$ .

حال‌‌ :

الف ) اگر $g(a)\neq 0$ تابع $f$ در $a$ مشتق پذیر است .

این گزاره رو از خاصیت ترکیب توابع میشه بدست اورد .

ب)اگر$g(a)=0$ و $g'(a)\neq 0$ انگاه تابع $f$ در $a$مشتق پذیر نیست.

ج)اگر $g(a)=g'(a)=0$ انگاه : $f'(a)=0$

قسمت ب و ج چگونه قابل اثبات است.باتشکر.

Comments

کافیست تعریف مشتق رو بنویسید .و نتیجه بگیرید.

Answer 1

$f'(a)= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}= \lim_{x \rightarrow a} \frac{ \mid g(x) \mid - \mid g(a) \mid }{x-a}= \lim_{x \rightarrow a} \frac{ \mid g(x) \mid}{x-a}= \lim_{x \rightarrow a} \frac{ \mid x-a \mid }{x-a} \mid \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \mid = \mid g'(a) \mid \lim_{x \rightarrow a} \frac{ \mid x-a \mid }{x-a}$

از اینجا ب و ج ثابت میشه