قضیه: تابع پیوسته $f:[a, b]\to \mathbb R$ بر $(a, b)$ مشتقپذیر است و $\lim_{x\to a^+}f'(x)=l$ در اینصورت $f$ در $a$ از راست مشتقپذیر بوده و $f'_+(a)=l$ .
اثبات: باید ثابت کنیم $f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =l$ .
فرض کنید $\epsilon> 0$ داده شده باشد چون $ \lim_{x\to a^+}f'(x)=l $ پس $\delta> 0$ موجود است که
$$a< x< a+\delta\implies |f'(x)-l|< \epsilon\tag{*}$$
اما بنابر قضیه مقدار میانگین برای هر $a< x< a+\delta$ یک $c_x\in (a, x)$ موجود است که $f'(c_x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
بنابراین برای $\delta> 0$ یافت شده بنابر $*$ داریم:
$$a, x< a+\delta \implies |\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-l|=|f'(c_x)-l|< \epsilon$$
لذا حکم ثابت شد.
