آیا برابر بودن مشتق چپ و مشتق راست در یک نقطه، پیوستگی تابع در آن نقطه را نیز نتیجه می دهد؟

Question

با سلام. در کتاب حسابان تعریفی درباره مشتق‌پذیری تابع $f$ در $x_{0}$ بیان شده که می‌گوید: «تابع $f$ در $x_{0}$ مشتق‌پذیر است اگر و تنها اگر مشتق چپ و راست تابع در نقطه $x_{0}$ موجود و برابر باشند.»

حال تابع زیر

$$f(x) =\begin{cases} 1 & x = 0\\ x^{2} & x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}\end{cases}$$

در نقطهٔ $x=0$ دارای مشتق چپ و راست می‌باشد و با هم برابر نیز هستند. ولی می‌دانیم که در این نقطه مشتق وجود ندارد. تعریف مشکل دارد یا من نکته‌ای را در نظر نمی‌گیرم؟

Answer 1

بستگی دارد که مشتق چپ و مشتق راست را چگونه تعریف کرده‌باشید. فرض کنیم منبع شما مشتق چپ و مشتق راست را مانند @saderi7 تعریف کرده‌باشند. مشتق چپ تابع $f$ در نقطهٔ $x_0$ را با $f'_{-}(x_0)$ نمایش دهید (برای مشتق راست به جای زیراندیس منفی از زیراندیس مثبت استفاده کنید).

$$f'_{-}(x_0)=\lim_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

که با

$$f'_{-}(x_0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

یکسان است. برای مشتق راست نیز به روش مشابه. در اینصورت شرطِ برابریِ «$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$» به صورت خودکار چندین نتیجه به دنبال دارد:

1. تابع در $x_0$ تعریف شده باشد. و گر نه $f(x_0)$ در صورت‌های کسرهای داخل حدها بی‌معناست.
2. تابع $f$ بر روی یک همسایگیِ بازِ سمت چپ (راست) -ِ $x_0$ تعریف شده باشد. و گر نه حدهای گذاشته شده بی‌معنا هستند.
3. حد چپ (راست) تابع با مقدار تابع در نقطه برابر باشد. و گر نه حدها به عدد بر روی صفر یا بینهایت بر روی صفر میل می‌کنند که باعث بینهایت یا تعریف‌نشده‌بودن می‌شود.

که تعریف شده‌بودن تابع در یک نقطه و موجود بودن حد چپ و راست در آن نقطه و برابری‌شان با مقدار تابع در آن نقطه همان پیوستگی تابع در آن نقطه است. پس ثابت کردیم که برابری مشتق چپ و مشتق راست با تعریف‌های آمده در بالا خودکار پیوستگی را نیز نتیجه می‌دهد.

اما شاید برایتان جالب باشد که مشتق چپ و مشتق راست را می‌توان به طور ناوابسته (مستقل) از مقدار تابع در خود نقطه تعریف کرد. تعریفِ زیر را به عنوان تعریف جدید برای مشتق چپ در نظر بگیرید.

$$f'_{-}(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h}$$

توجه کنید که اگر مشتق چپ به معنای تعریف نخست موجود باشد آنگاه حاصل حد بالا با مقدار مشتق چپ با تعریفِ پیشین برابر می‌شود.

$$\begin{align} \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h} &= \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0+h)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0^-}\big(\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}-\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\big)\\ &= \lim_{h\to 0^-}\big(2\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}-\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\big)\\ &=2\lim_{(2h)\to 0^-}\frac{f(x_0+(2h))-f(x_0)}{(2h)}-\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ &= 2f'_{-}(x_0)-f'_{-}(x_0)\\ &= f'_{-}(x_0) \end{align}$$

اما در عین حال آزادیِ بیشتری نسبت به تعریفِ پیشین دارد. چون تعریف شدنِ $f$ در $x_0$ را نیاز ندارد. از این رو برای نقطه‌هایی که تابع در آنجا تعریف نشده ولی در همسایگی چپ (راست) آنها تعریف شده هنوز امکانِ تعریف و مطالعهٔ مشتق (شیب و تغییرات) تابع وجود دارد. و بعلاوه از برابر بودنِ $f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$ نه تنها پیوستگیِ تابع نتیجه نمی‌شود، بلکه حتی ممکن است حد چپ و راست هم با هم متفاوت باشند ولی مشتق چپ و راست جدید با هم برابر باشند. برای نمونه تابع زیر را در نظر بگیرید.

$$f(x)=\begin{cases} x &;\; x< 0\\ 1 &;\; x=0\\ x+2 &;\; x>0 \end{cases}$$

Comments

AmirHosein@
این تعریف ایدهٔ جالبی است  و خب شیب خطوط قبل و بعد از صفر یک است ولی از نظر هندسی بحث های مماس وارد بر منحنی ها دچار تزلزل نمی شود؟ ضمناً با اثباتی که برای برابری شما انجام دادید برای $f$ از دو تعریف یکی بینهایت و دیگری 1 را میدهد را چگونه توجیح کنیم؟ آیا برای تعریف دومی منبعی وجود دارد که شما آورده اید؟ باتشکر

---

@good4us جملهٔ «تابع $f$ هم مشتق ندارد و هم مشتق دارد» نادرست است، جملهٔ درست «تابع $f$ در نقطهٔ صفر با تعریف نخست مشتق‌پذیر نیست، و با تعریف دوم مشتق‌پذیر است» درست است. که تناقضی ایجاد نمی‌کند. چون دو تعریف، متفاوت هستند، اولی دومی را نتیجه می‌دهد ولی دومی اولی را نتیجه نمی‌دهد. از این نوع موارد زیاد باید دیده‌باشید. برای نمونه خود پیوستگی. تابع $f(x)=x\sin(\frac{1}{x})$ را در نظر بگیرید. این تابع در $x=0$ تعریف نشده است و بنابراین پیوسته نیز نیست. اما اگر به رفتار این تابع در همسایگی محذوف $x=0$ نگاه کنید، در حال میل کردن پیوسته به صفر است. پس اگر تعریف کنید $f(0)=0$ آنگاه تابع جدید در $x=0$ پیوسته است. در واقع همین مطلب انگیزهٔ تعریف «ناپیوستگیِ رفع‌شدنی و ناپیوستگیِ رفع‌ناشدنی» بود. در اینجا نیز همین طور است، تعریف دوم در حال نگاه به رفتار تغییرات تابع در همسایگی محذوف است. اگر دوست دارید می‌توانید اینگونه نگاه کنید که تابع $f$ دارای مشتق با تعریف اول در همه جا به غیر از $x=0$ است و در نتیجه این تابع جدید $f'$، در $x=0$ چون تعریف‌نشده، ناپیوسته است. ولی ناپیوستگی‌اش از نوع رفع‌شدنی است و مقدار مشتق با تعریف دوم دقیقا مقداری است که تابع $f'$ در نقطهٔ $x=0$ نیاز دارد تا پیوسته شود.

---

AmirHosein@ آقای دکتر ضمن تشکر از توضیحات مبسوط شما،
به نظرم بحث خوبی شد من بخصوص وقتی در فرمول دوم دقت کردم و جمله شما را با دقت بیشتری بررسی کردم اشاره به اینکه با شرط وجود مشتق چپ در تعریف اول موجود باشد نکته مسئله است.
آیا دکتر در تعریف دوم میشه گفت بازه $(h,2h)$ مورد نظر است که حداقل در آن $f$ پیوسته باشد؟

---

@good4us برای تعریف‌شدن حد داخل تعریف دوم، نیازی به موجود بودنِ مشتق با تعریف نخست نیست. اگر مشتق نوع ۱ موجود باشد، آنگاه مشتق نوع ۲ نیز موجود است و مقدارش با مقدار مشتق نوع ۱ برابر است. ولی برعکس آن الزاما درست نیست. یعنی مشتق نوع ۲ می‌تواند موجود باشد در حالی که مشتق نوع ۱ تعریف‌نشده باشد.
در مورد بازه: $h$ یک عدد نیست بنابراین نمی‌توان شرط ثابت برای بازهٔ $(h,2h)$ گذاشت. $(h,2h)$ها برای $h$ای که به صفر میل می‌کند شاید منظورتان باشد که الزاما شروع اینکه $h$ را از چه عدد مثبتی آغاز کنیم و کوچکتر و کوچکترش کنیم وابسته به تابع‌تان است. لذا عبارت درست این است که یک همسایگیِ $(x_0,x_0+\epsilon)$ای بتوان یافت که تابع $f$ بر روی آن تعریف شده باشد (که اکنون این $(x_0+h,x_0+2h)$ها در این بازه قرار می‌گیرند) و اینکه حد راست تابع موجود باشد (توجه کنید که $(h,2h)$ برای $h>0$ در سمت راست $x=0$ قرار می‌گیرد برای $h < 0$، بازه‌های شما به شکل $(2h,h)$ می‌شوند). پس تعریف مشتق نوع ۲ نیازی به تعریف‌شده-نشده‌بودن $f$ در خود $x_0$ ندارد و حتی بیشتر، نیازی به برابریِ حد راست (چپ) با مقدار تابع (در صورت تعریف‌شده بودن در $x_0$) ندارد. پس مشتق نوع ۲، نیازی به پیوستگی تابع در نقطه، یا پیوستگی راست یا پیوستگی چپ در نقطه ندارد (پیوستگی راست/چپ به معنای برابری حد راست/چپ با مقدار تابع در نقطهٔ $x_0$). تنها نیاز به موجود بودن حد راست یا حد چپ یا هر دو (وابسته به اینکه مشتق نوع ۲ یِ چپ یا راست یا دوطرفه را می‌خواهید) دارد.

---

AmirHosein@ بازهم  از توضیحات شمامتشکرم

Answer 2

مشتق چپ و راست تابع را حساب میکنیم :

$$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^2-1}{x}=-\infty$$ $$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x^2-1}{x}=+\infty$$

همانطور که مشاهده میکنید مشتق چپ و راست به بینهایت میل کرد .

درنتیجه تابع مشتق پذیر نیست در نقطه $x=0$

Comments

پس  نیازی نیست پیوستگی رو در تعریف وارد  کرد. یعنی نمیشه مثال نقضی پیدا کرد که مثلا  ناپیوسته باشه و حدمشتق چپ و راست برابر شود.

---

@Mohsenn
حد چپ و راست در یک نقطه برابر باشد مشتق پذیره در نیجه .پیوسته است.
پس مثال نقص ندارد .

---

Mohsenn@ خب این تابع در صفر پوسته نیست پس در آن مشتق پذیر هم نخواهد بود.

---

@saderi7 در واقع پرسش آقای @Mohsenn این است که آیا تعریف مشتق به شکل آمده در صورت پرسش، پیوستگی را نتیجه می‌دهد؟ و شما در دیدگاه‌تان از حکمی که ایشان درستی یا نادرستی‌اش را پرسیده‌اند برای پاسخ به دیدگاهش استفاده کرده‌اید.
به هر حال شاید برایتان جالب باشد که مشتق را بدون نیاز به خود مقدارِ $f$ در نقطهٔ مورد بحث می‌توان تعریف کرد و در این حالت، تعریف شدگی و پیوستگی تابع نیاز نمی‌شود، صرفا حد چپ (حد راست) داشتن برای تعریف مشتق چپ (مشتق راست) کفایت خواهد کرد.