بستگی دارد که مشتق چپ و مشتق راست را چگونه تعریف کردهباشید. فرض کنیم منبع شما مشتق چپ و مشتق راست را مانند @saderi7 تعریف کردهباشند. مشتق چپ تابع $f$ در نقطهٔ $x_0$ را با $f'_{-}(x_0)$ نمایش دهید (برای مشتق راست به جای زیراندیس منفی از زیراندیس مثبت استفاده کنید).
$$f'_{-}(x_0)=\lim_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
که با
$$f'_{-}(x_0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
یکسان است. برای مشتق راست نیز به روش مشابه. در اینصورت شرطِ برابریِ «$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$» به صورت خودکار چندین نتیجه به دنبال دارد:
- تابع در $x_0$ تعریف شده باشد. و گر نه $f(x_0)$ در صورتهای کسرهای داخل حدها بیمعناست.
- تابع $f$ بر روی یک همسایگیِ بازِ سمت چپ (راست) -ِ $x_0$ تعریف شده باشد. و گر نه حدهای گذاشته شده بیمعنا هستند.
- حد چپ (راست) تابع با مقدار تابع در نقطه برابر باشد. و گر نه حدها به عدد بر روی صفر یا بینهایت بر روی صفر میل میکنند که باعث بینهایت یا تعریفنشدهبودن میشود.
که تعریف شدهبودن تابع در یک نقطه و موجود بودن حد چپ و راست در آن نقطه و برابریشان با مقدار تابع در آن نقطه همان پیوستگی تابع در آن نقطه است. پس ثابت کردیم که برابری مشتق چپ و مشتق راست با تعریفهای آمده در بالا خودکار پیوستگی را نیز نتیجه میدهد.
اما شاید برایتان جالب باشد که مشتق چپ و مشتق راست را میتوان به طور ناوابسته (مستقل) از مقدار تابع در خود نقطه تعریف کرد. تعریفِ زیر را به عنوان تعریف جدید برای مشتق چپ در نظر بگیرید.
$$f'_{-}(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h}$$
توجه کنید که اگر مشتق چپ به معنای تعریف نخست موجود باشد آنگاه حاصل حد بالا با مقدار مشتق چپ با تعریفِ پیشین برابر میشود.
\begin{align}
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h} &= \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0+h)}{h}\\
&= \lim_{h\to 0^-}\big(\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}-\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\big)\\
&= \lim_{h\to 0^-}\big(2\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}-\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\big)\\
&=2\lim_{(2h)\to 0^-}\frac{f(x_0+(2h))-f(x_0)}{(2h)}-\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\
&= 2f'_{-}(x_0)-f'_{-}(x_0)\\
&= f'_{-}(x_0)
\end{align}
اما در عین حال آزادیِ بیشتری نسبت به تعریفِ پیشین دارد. چون تعریف شدنِ $f$ در $x_0$ را نیاز ندارد. از این رو برای نقطههایی که تابع در آنجا تعریف نشده ولی در همسایگی چپ (راست) آنها تعریف شده هنوز امکانِ تعریف و مطالعهٔ مشتق (شیب و تغییرات) تابع وجود دارد. و بعلاوه از برابر بودنِ $f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$ نه تنها پیوستگیِ تابع نتیجه نمیشود، بلکه حتی ممکن است حد چپ و راست هم با هم متفاوت باشند ولی مشتق چپ و راست جدید با هم برابر باشند. برای نمونه تابع زیر را در نظر بگیرید.
$$f(x)=\begin{cases}
x &;\; x<0\\
1 &;\; x=0\\
x+2 &;\; x>0
\end{cases}$$
