Question

زاویه بین نیم مماس چپ و راست تابع $y= | x-2 | \sqrt{x+a}$ در نقطه گوشه برابر $90°$ است. مقدار $a$ را بیابید.

Comments

با سلام. مقدار $a$ برابر $-1$ است، درسته؟

---

@Dana_Sotoudeh بله درست است. ممنون می شوم که راه حلتان را قرار دهید.

Answer 1

توجه کنید که گوشهٔ تیز در رسم نمودار این تابع در نقطهٔ $x=2$ که قدرمطلق پشت عبارت رادیکالی‌تان است ایجاد می‌شود و البته به شرط اینکه ۲ از $-a$ بزرگتر باشد چون دامنهٔ تابع‌تان $[-a,+\infty)$ است. نمودار تابع‌تان شبیه خم آبی‌رنگ در شکل زیر می‌شود. و دو خطِ مماس بر تابع در این نقطه با رنگ قرمز نشان داده‌شده‌اند.

توجه کنید که شیب خطی که از سمتِ چپ مماس است برابر با مقدارِ مشتقِ چپ تابع در $x=2$ و شیب خط مماس از سمت راست برابر با مقدار مشتقِ راست تابع در $x=2$ است. برای بدست آوردن مشتق چپ و راست هم توجه کنید که تابع شما در سمت چپ برابر با $-(x-2)\sqrt{x+a}$ و در سمت راست برابر با $(x-2)\sqrt{x+a}$ است. زاویه‌ای که از آن حرف می‌زنید زاویهٔ بالایِ بین دو خط قرمز است. این زاویه را $\alpha$ بنامید. زاویهٔ مکملِ آن نسبت به خط مماس سمت چپ را $\beta$ بنامید. توجه کنید که چون مقدار مشتق چپ و راست فقط قرینهٔ یکدیگر هستند (یکی منفیِ یک برابرِ دیگری است) پس اندازهٔ زاویهٔ بین خط مماس چپ و محور $x$ها برابر با اندازهٔ زاویهٔ بین خط مماس راست و محور $x$ها است، تنها یکی ساعتگرد و یکی پادساعتگرد نسبت به محور $x$ها است. پس اگر زاویهٔ بین محور $x$ها (خط سیاه‌رنگ) و خط قرمز مماس راست (رو به راست) را $\theta$ بنامیم آنگاه داریم:

$$\begin{align} \theta &= \arctan(m)\\ \beta &= 2\theta\\ \alpha &= \pi -\beta \end{align}$$

که $m$ شیب خط مماس راست است یعنی

$$\begin{align} m &= f'_+|_{x=2}\\ &= \Big(\big((x-2)\sqrt{x+a}\big)'_x\Big)|_{x=2}\\ &= \big(\sqrt{x+a}+(x-2)\frac{1}{2\sqrt{x+a}}\big)|_{x=2}\\ &= \sqrt{a+2} \end{align}$$

اکنون فرض پرسش که $\alpha=\frac{\pi}{2}$ است را به کار می‌گیریم. داریم $\beta=\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$، پس $\theta=\frac{\frac{\pi}{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$، و در پایان $m=\tan\frac{\pi}{4}=1$ پس $\sqrt{a+2}=1$ و $a+2=1$ و $a=-1$. اکنون شکل نمودارِ مورد نظر را زمانی که $a=-1$ را نگاه کنید. دستورِ کشیدنِ آن با نرم‌افزار میپل در زیر آمده‌است.

plot(abs(x-2)*sqrt(x-1), x=0..4, color=blue, view=[0..3, -0.5..2], scaling=constrained, tickmarks=[10,5]);

Comments

@AmirHosein خیلی ممنونم از شما. ببخشید چرا ریشه داخل قدر مطلق همان نقطه گوشه دار $y$ است؟

---

@Elyas1 نقطهٔ گوشه‌دارِ منحنی‌تان نقطه‌ای است که شیب خط مماس یک‌دفعه‌ای تغییر کند، نه؟ خب تابع $\sqrt{x+a}$ مشتق‌پذیر است. تابعِ $|g(x)|$ هم به ازای یک تابع مشتق‌پذیر $g(x)$ همه‌جا مشتق‌پذیر است به جز جایی که $g(x)$ صفر شود ولی مشتقش در آنجا صفر نباشد، نه؟ چون در این نقطه به خاطر صفر نشدن مشتق و پیوسته بودنش (مشتق‌پذیر، پیوسته نیز است) حتما یک سمت ریشه منفی و یک سمت دیگر مثبت است پس یعنی محور $x$ها را باید قطع می‌کرد و این بدون اینکه خط مماس بر آن کج (غیر افقی) نباشد، رخ نمی‌دهد. چون پیوسته است سمت چپِ حدی و سمت راستِ حدیِ ریشه، خط مماس یکسان است، ولی چون قدرمطلق گذاشتید، یک سمت را آینه‌وار نسبت به محور $x$ها به بالا بازتاب می‌کند، پس یک شکل هفتی‌شکل در همسایگی بسیار کوچک حول ریشه دارید. این شکل هفتی‌شکل یک گوشهٔ تیز می‌سازد، نه؟ توجه کنید که قبل از پرداختن به این، گفتیم که در بقیهٔ نقطه‌ها مشتق‌پذیر است، ضرب دو تابع مشتق‌پذیر، مشتق‌پذیر است. پس تنها نامزدهای گوشه‌تیز ساز ریشه‌های $g(x)$ هستند که $g'(x)$ ناصفر باشد. در مورد شما $g(x)=x-2$ که همه‌جا مشتق‌پذیر است و تنها در $x=2$ ریشه‌دارد و مشتقش در این ریشه ناصفر است.

Answer 2

• دامنه تابع را $D_f$ در نظر می‌گیریم.

• زاویه بین نیم مماس چپ و راست برابر $90°$ به طوری که هردو مماس تابع باشند، ضرب شیب خط دو تابع برابر $-1$ است.

  $$f(x)= \begin{cases}(x-2) \sqrt{x+a} & D_f \bigcap [2,+ \infty )\\ -(x-2) \sqrt{x+a} & D_f \bigcap (-\infty,2) \end{cases}$$ $$\Rightarrow f'(x)= \begin{cases} \sqrt{x+a}+ \frac{(x-2)}{2\sqrt{x+a}} & D_f \bigcap (2,+ \infty )\\ -\sqrt{x+a}- \frac{(x-2)}{2\sqrt{x+a}} & D_f \bigcap (-\infty,2) \end{cases}$$

$$\Rightarrow f'_+(2)= \sqrt{2+a} , f'_-(2)= -\sqrt{2+a}$$

$$f'_+(2).f'_-(2)=-1$$ $$\Rightarrow -\sqrt{2+a}.\sqrt{2+a}=-1$$

$$\Rightarrow \boxed{a=-1}$$