آیا می توان با تنها داشتنِ مقادیر یک تابع حقیقی مقدار در نقطه های طبیعی، مشتق این تابع را پیدا کرد؟

Question

بفرض $f$ یک تابع حقیقی‌مقدار باشد یعنی $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. اگر بدانیم که برای هر عدد طبیعیِ $n$ حاصل آن برابر می‌شود با $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$، آیا می‌توان مشتق تابع $f$ را یافت؟

فکر خودم: با استفاده نقاطی نظیر $(n,f(n))$ که n های طبیعی می سازند و تشکیل یک دستگاه معادلاتی k معادله و k مجهول ($k \rightarrow \infty$) ضریب های a را بدست می آوریم.
$f(x)=a_1+a_2x+a_3x^{2}+ \cdots +a_{k-1}x^{k}$
مشتق تابع f(x) چیست؟

Comments

@mort تابعی که نوشتید دامنه‌اش اعداد طبیعی است و نه اعداد حقیقی، بنابراین مشتق به معنایی که فکر می‌کنید ندارد. برای آن می‌توانید تفاضلات متناهی استفاده کنید یا اینکه متر خاصی را ابتدا بردارید و ببینید مشتق در این متر چگونه خواهدبود. چیزی که شما با یک تابعِ با دامنهٔ اعداد طبیعی که در واقع یک دنباله است خواهید داشت، تفاضل دو جملهٔ متوالی است که در این حالت $\frac{1}{n}$ تفاضل چپ و $\frac{1}{n+1}$ تفاضل راست خواهد بود. تساوی انتگرالی‌ای که نوشتید هم فقط زمانی که $x\in\mathbb{N}$ باشد برقرار است، چون در غیر اینصورت نماد سمت چپ $\sigma$ بی‌معنا خواهدبود و وقتی که معنا نداشته باشد چیزی هم برای اثبات نیست، مانند این است که بگوئيد «ئةإئ«أةأئ«أةكـك«؛،+» مساوی است با $\int_0^1\frac{1-a^x}{1-a}da$. بنابراین نمی‌توانید از این گام جلوتر بروید و متن‌تان از همین نقطه به بعد نادرست است.

---

استاد @AmirHosein
شما خیلی رو جزئیات حساس هستید! منظورم رو از سوال متوجه شدید ولی کامنت طولانی نوشتید و از آن اشکال گرفتید. بجای این کار می توانستید سوال را ویرایش کنید!!!

---

@mort ویرایش پرسش وظیفهٔ خود پرسش‌کننده‌است بعلاوه شما در موضوع ابهام داشتید و هنوز هم دارید به دلیلی که در زیر می‌آید. راهنمایی‌تان کردند که فلان مطلب را درست متوجه نشده‌اید. اگر پرسش اصلی متنش متفاوت است و از مرجعی آوردید، قسمت مرجع‌دهی را با اطلاعات مناسب پر کنید و متن پرسش را درست همانند متن اصلی بنویسید، سپس به عنوان تلاش خودتان فکرهایی که کردید را بیاورید.
و اما شکل جدیدی که برای پرسش‌تان نوشتید. با داشتن مقدارِ یک تابع با دامنهٔ اعداد حقیقی فقط بر روی نقطه‌های طبیعی و بدون هیچ شرط دیگری، یک تابع یکتا ندارید. مانند ابهام دیگری که پیرامون دنباله‌ها در پست دیگری داشتید. و جملهٔ «طوری می‌نویسیم که در نقاط غیرطبیعیِ حقیقی نیز بامعنا باشد» شرط خاصی روی تابع نمی‌گذارد. بامعنا بودن تابع یعنی چه؟ تعریف‌شده‌بودن منظورتان است؟ خب بی‌شمار تابع متفاوت می‌توانید تعریف کنید که همگی‌شان بر روی عددهای طبیعی مقدارهای یکسان بگیرند. اگر مقدار تابع بر روی تمام $\mathbb{R}-\mathbb{N}$ را صفر تعریف کنید، مشکلی با تعریف تابع‌بودن دارد؟
بهتر است به جای گِله کردن از فرصت استفاده کنید و ابهام‌ها و مشکل‌هایتان را با کمک راهنمایی‌هایی که کاربران دیگر می‌کنند رفع کنید.

---

@mort ویرایش جدید دومی که کردید هنوز یک تابع یکتا را مشخص نمی‌کند. حتی اگر شرط هموار بودن (از هر مرتبه مشتق‌پذیر بودن) را بر روی تابع‌تان بگذارید، باز هم بی‌شمار تابع هموار می‌توانید بسازید که بر روی $\mathbb{N}$ یکسان هستند ولی بر روی کل $\mathbb{R}$ یکسان نباشند و در نتیجه مشتق‌های یکسانی نیز نداشته باشند حتی در نقطه‌های با طول طبیعی.

Answer 1

پاسخ خیر است. با دانستنِ مقدارهای یک تابع حتی با فرض هموار بودنِ آن (یعنی از هر مرتبه‌ای مشتق‌پذیر باشد)، باز هم یک تابع یکتا تعریف نمی‌شود. برای نمونه فرض کنید بدانیم تابع $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ برای هر $n\in\mathbb{N}$ برابر با $\sum_{k=1}^nk$ شود، آنگاه در زیر دو تابع از بی‌شمار تابعِ ممکن با چنین فرضی را می‌آوریم که نه تنها با هم برابر نیستند بلکه مشتق آنها در نقطه‌های طبیعی نیز با اینکه خود دو تابع مقدار یکسان می‌گیرند، نابرابر می‌شود. تعریف کنید $f(x)=(1+\sin(x\pi))\frac{x(x+1)}{2}$ و $g(x)=(1+\sin(x\pi+\pi))\frac{x(x+1)}{2}$. در این صورت هر دوی این تابع برای تمام عددهای طبیعی مقدار یکسان می‌گیرند ولی در سایر نقطه‌ها برابر نیستند و بعلاوه حتی مشتق این دو تابع در نقطه‌های طبیعی قرینهٔ یکدیگر می‌شوند! و توجه هم داشته‌باشید که هر دو تابع‌هایی هموار هستند. نمودار این دو تابع در زیر آورده‌شده‌است که تابع $f$ با رنگ آبی و تابع $g$ با رنگ سبز و سه نقطهٔ با طول‌های طبیعیِ ۱ و ۲ و ۳ از این دو نمودار نیز با رنگ قرمز کشیده شده‌اند.