@mort تابعی که نوشتید دامنهاش اعداد طبیعی است و نه اعداد حقیقی، بنابراین مشتق به معنایی که فکر میکنید ندارد. برای آن میتوانید تفاضلات متناهی استفاده کنید یا اینکه متر خاصی را ابتدا بردارید و ببینید مشتق در این متر چگونه خواهدبود. چیزی که شما با یک تابعِ با دامنهٔ اعداد طبیعی که در واقع یک دنباله است خواهید داشت، تفاضل دو جملهٔ متوالی است که در این حالت $\frac{1}{n}$ تفاضل چپ و $\frac{1}{n+1}$ تفاضل راست خواهد بود. تساوی انتگرالیای که نوشتید هم فقط زمانی که $x\in\mathbb{N}$ باشد برقرار است، چون در غیر اینصورت نماد سمت چپ $\sigma$ بیمعنا خواهدبود و وقتی که معنا نداشته باشد چیزی هم برای اثبات نیست، مانند این است که بگوئيد «ئةإئ«أةأئ«أةكـك«؛،+» مساوی است با $\int_0^1\frac{1-a^x}{1-a}da$. بنابراین نمیتوانید از این گام جلوتر بروید و متنتان از همین نقطه به بعد نادرست است.
