اگر $f$ و $g$ روی $ [a,b] $ پیوسته باشند، $c \in (a,b)$ وجود دارد که: $f(c) \int_a^b g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt $

Question

نشان دهید که اگر $f$ و $g$ روی $ [a,b] $ پیوسته باشند، $c \in (a,b)$ وجود دارد به طوری که: $f(c) \int_a^b g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt $

---

تلاش خودم:

با توجه به قضیه مقدار میانگین در انتگرال ها رابطه مقابل را داریم: $f(c)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$ که در آن $c \in (a,b)$.

حال اگر تابع مورد نظر $f(t)$ باشد $c _{1} $ی صادق در قضیه مقدار میانگین وجود دارد و اگر تابع مورد نظر $g(t)$ باشد $c _{2} $یی. بنابراین داریم:

$\frac{\int_a^bf(t)dt}{f( c_{1} )}=\frac{\int_a^bg(t)dt}{g( c_{2} )}$

با توجه به صورت سؤال، برابری $ c_{1} $ و $ c_{2} $ به چه صورتی قابل تحقیق است؟

Answer 1

راهنمایی: فرض کنید $c_1:=\int_a^b f(t)dt$ و $c_2:=\int_a^b g(t)dt$ در اینصورت قضیه ی مقدار میانی برای انتگرال را برای تابع $h(x)=c_1g(x)-c_2f(x)$ بنویسید.