فرض کنید $ (X,\mathcal M,\mu) $ یک فضای اندازه باشد.
ابتدا به یاد آورید که اگر $\phi $ یک تابع ساده باشد آنگاه $\nu(A)=\int_A\phi d\mu $ یک اندازه است. (به اینجا نگاه کنید)
و طبق تعریف $\int_A fd\mu=\big\{\int_A\phi:0\leq\phi\leq f,\phi \ sade\ ast\big\} $
پس اگر تعریف کنیم $ \nu(A)=\int_A fd\mu$ آنگاه:
- $ \nu(\emptyset)=\int_\emptyset fd\mu $ اما چون $ \int_\emptyset\phi=0 $ لذا $ \int_\emptyset f=0 $
- اگر $E_1,E_2,... $ گردایه ای شمارا از مجموعه های اندازه پذیر مجزا باشند و قرار دهید $ A=\bigcup E_m $ در اینصورت بنابر قضیه ای از آنالیز حقیقی می دانیم که دنباله ای از توابع ساده $ 0\leq\phi_1\leq\phi_2\leq ...\leq f $ وجود دارد که $\lim_{n\to\infty}\phi_n(x)=f(x) $ به ازای هر $x\in X $ . و بنابر قضیه همگرایی افزایشی(
Monotone Convergence Theorem ) می دانیم که $\int_A f=\int_A\lim_{n\to\infty}\phi_n=\lim_{n\to\infty}\int_A\phi_n $
در اینصورت داریم:
$$\begin{align}
\nu(A) &=\int_Afd\mu\\
&=\lim_{n\to\infty}\int_A \phi_nd\mu\\
&=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^\infty\big(\int_{E_m}\phi_n d\mu\big)\\
&=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\sum_{1}^m\big(\int_{E_m}\phi_n d\mu\big)\\
&=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\sum_{1}^m\big(\int_{E_m}\phi_n d\mu\big)\\
&=\lim_{m\to\infty}\sum_1^m\big(\int_{E_m}f d\mu\big)\\
&=\lim_{m\to\infty}\sum_1^m\nu(E_m)\\
&=\sum_{m=1}^\infty\nu(E_m)
\end{align} $$
