فرض کنید $ A\subset X $ دلخواه و $ \mu(A)< \infty$ باشد. باید نشان دهیم:
$ \mu(A)=\mu(A\cap F)+\mu(A\cap F^c) $ .
چون $ E$ اندازه پذیر است لذا
$$ \mu(A)=\mu(A\cap E)+\mu(A\cap E^c) \tag{1}\label{1}$$
و چون $ \mu(E\triangle F)=\mu((E\setminus F)\cup(F\setminus E))=0 $ لذا
$$\mu(E\setminus F)=\mu(F\setminus E)=0\tag{2} \label{2}$$ .
حال داریم:
$$\require{cancel}\begin{align}
\mu(A\cap F)+\mu(A\cap F^c)&=^\eqref{1}\mu(A\cap F\cap E)+\mu(A\cap F\cap E^c)\\
&\qquad+ \mu(A\cap F^c\cap E)+\mu(A\cap F^c\cap E^c)\\
&\leq \mu(A\cap E)+\underbrace{\cancelto{0}{\mu(F\cap E^c)}}_\eqref{2}\\
&+\underbrace{\cancelto 0{\mu(E\cap F^c)}}_\eqref{2}+\mu(A\cap E^c)\\
&=^\eqref{1}\mu(A)
\end{align}$$
