اگر $\phi$ تابع ساده نامنفی آنگاه $ \nu (A) = \int_A \phi d \mu$ اندازه است.

Question

فرض کنید $ (X,\mathcal M,\mu) $ یک فضای اندازه باشد. چطور میشه ثابت کرد که اگر $ \phi $ تابع ساده نامنفی باشند، آنگاه تابع $ \nu (A) = \int_A \phi d \mu $ یک اندازه است.

Answer 1

داریم: $$ \nu(\emptyset)=\int_\emptyset \phi d\mu=\int\phi\chi_\emptyset d\mu=\int\chi_\emptyset d\mu=\mu(\emptyset)=0 $$ (توجه کنید که وقتی کران انتگرال را مشخص نکنیم منظور این است که کران آن کل فضاست یعنی $ \int\phi=\int_X\phi $ )

اگر $A_1,A_2,... $ زیرمجوعه های اندازه پذیر مجزا باشند با قرار دادن $ A=\bigcup A_k $ و با فرض اینکه $ \phi=\sum_1^n a_i\chi_{E_i} $ نمایش استاندارد تابع ساده $\phi $ باشد داریم: $$ \begin{align}\nu(A)&=\int_A\phi d\mu \\ &=\int\phi\chi_A d\mu\\ &= \int(\sum_{i=1}^n a_i\chi_{E_i})\chi_A d\mu\\ &=\int(sum_{i=1}^n a_i\chi_{E_i\cap A})\\ &=\sum_{i=1}^n a_i\int\chi_{E_i\cap A}d\mu\\ &=\sum_{i=1}^n a_i\mu(E_i\cap A)\\ &=\sum_{i=1}^n a_i\mu(E_i\cap\bigcup_{j=1}^\infty A_j)\\ &=\sum_{i=1}^n a_i\mu(\bigcup_{j=1}^\infty (E_i\cap A_j))\\ &= \sum_{i=1}^n a_i\sum_{j=1}^\infty\mu(E_i\cap A_j)\\ &=\sum_{j=1}^\infty\sum_{i=1}^n a_i\mu(E_i\cap A_j)\\ &=\sum_{j=1}^\infty\int\phi\chi_{A_j}d\mu\\ &=\sum_{j=1}^\infty\nu(A_j) \end{align}$$

Comments

چرا باید Aها مجزا باشند؟

---

در تعریف اندازه مگر نباید مجزا باشند!!؟
تعریف ها خیلی مهم هستن. باید دقیق به یاد داشته باشید.