اگر $\mu(A)=0$ آنگاه آیا برای تابع سادهٔ نامنفی $\phi$ رابطهٔ $\int_A\phi {\rm d}\mu=0$ برقرار است؟

Question

فرض کنید که $\phi$ تابع ساده و نامنفی باشد و همچنین داشته‌باشیم $\mu(A)=0$. آنگاه آیا می‌توان نتیجه گرفت که $\int_A\phi{\rm d}\mu=0$؟

Answer 1

اگر $ \phi=\sum_1^n a_i\chi_{E_i} $ نمایش استاندارد $ \phi $ باشد یعنی $E_i $ ها مجزا باشند و اجتماع آنها برابر کل فضا باشد. در اینصورت: $$ \int_A\phi d\mu=\int\phi\chi_A d\mu=\int\sum_1^n a_i \chi_{A\cap E_i}d\mu=\sum_1^n a_i\mu(A\cap E_i)=0 $$