$\mu$ اندازه خارجی آنگاه $ \mu (E \cup A)+ \mu (E \cap A)= \mu (E)+ \mu (A) $

Question

فرض کنید $ \mu $ اندازه خارجی روی خانواده همه زیر مجموعه های$ X$ باشد . اگر $E$ اندازه پذیر باشد ، ثابت کنید برای هر $A \subseteq X $ ، داریم : $ \mu (E \cup A)+ \mu (E \cap A)= \mu (E)+ \mu (A) $

Comments

اینجا مکانی برای حل تکالیف شما نیست.
تکالیف محوله بر شما را باید خودتان انجام دهید. ولی اگر مشکلی در حلش داشتید میتونید بپرسید. ولی اینطور که معلومه شما روی مساله فکر نکردید. و هیچی در مورد تلاشتون برای حلش ننوشتید.

Answer 1

باید اندازه A و E کوچکتر از بی نهایت باشه.

Comments

مهران jd110
فقط در صورتی که $\infty -\infty$ ظاهر بشه ایراد پیدا میکنه. و در اینجا همچین مشکلی پیش نمیاد. هیچ اشکالی نداره که بی نهایت بشه. مشکل وقتیه که $\infty-\infty$ ظاهر بشه.

---

این چیزی که گفتین درست نیست.در اینجا اصلا اون موضوع مطرح نیست.
شما الان اگه در سوال بالا بگیم میویک اندازه روی ایکس و اون رابطه رو ثابت کن چه جوری ثابتش میکنین؟

---

@مهران eg219
اگه بخواید اثباتشو می نویسم کامل. ولی الان فرض کنیم اندازه $A,E$ برابر بی نهایت بشن خوب اونوقت تساوی $\mu(E\cup A)+\mu(E\cap A)=\mu(E)+\mu(A)$ به وضوح برقرار است درسته؟. زیرا هر دو طرف برابر مثبت بی نهایت میشن.
پس دیگه چه مشکلی هست؟

---

شما سرانجام در اثباتش به تفاضل میرسین و میگین اندازه تفاضل میشه تفاضل اندازه ها که این در صورتی درسته که اندازه ها کوچکتر از بی نهایت باشه.اگه امکانش هست اثبات رو بنویسین.

---

@مهران jd110
لطفا پاسخمو ببینید که اثبات کامل رو گذاشتم. اصلا منها وجود نداره. پس مشکلی وجود نداره. البته من میدونم دقیقا منظورتون چیه از ایرادی که میگیرید ولی این مشکل در مورد این سوال واقعا پیش نمیاد.
ممنون.

Answer 2

فقط کافیه از تعریف اندازه پذیری استفاده کنید.

اگر $ E $ اندازه پذیر خارجی باشد آنگاه به ازای هر $ A\subset X$ داریم: $$ \mu(A)=\mu(A\cap E)+\mu(A\cap E^c) $$ حال اگر این تعریف را به جای $ A $ برای $ E\cup A $ بنویسید و جاگذاری کنید حکم ثابت می شود.

---

اثبات کامل بعد از نظر مهران:

چون $E$ اندازه پذیر است لذا:

$\begin{align}\mu((E\cup A)&=\mu((E\cup A)\cap E)+\mu((E\cup A)\cap E^c)\\ &= \mu(E)+\mu(A\cap E^c)\end{align}$

و با اضافه کردن $\mu(E\cap A)$ به طرفین تساوی بالا داریم:

$\mu(E\cup A)+\mu(E\cap A)=\mu(E)+\mu(A\cap E^c)+\mu(A\cap E)$

و چون $E$ اندازه پذیر است لذا $\mu(A)=\mu(A\cap E^c)+\mu(A\cap E)$ و لذا تساوی قبلی به صورت زیر در می آید:

$$\mu(E\cup A)+\mu(E\cap A)=\mu(E)+\mu(A)$$

Comments

براساس کدام قانون در ریاضی مجاز هستیم؟
شما سرانجام میوی اشتراک رو ببرین به سمتی که میوی A هست بعد همون مشکل بی نهایت منهای بی نهایت خودتون پیش نمیاد؟

---

مهران jd110
خوب نکته اینجاست که نباید جوری بنویسی که بی نهایت منهای بی نهایت به وجود بیاد. مادامی که بی نهایت منهای بی نهایت به وجود نیاد مشکلی نداره. الان چیزی که من نوشتم نهایتش اینه که بی نهایت به اضافه بی نهایت به وجود بیاد که هیچ اشکالی نداره.
من یک مثال میزنم. فرض کنید $A \subset B$ در اینصورت ما مجاز نیستیم بنویسیم $\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)$ چون ممکنه مشکل بی نهایت منهای بی نهایت پیش بیاد ولی همیشه میتونیم بنویسیم $\mu(B\setminus A)+\mu(A)=\mu(B)$ . در اینصورت شما نمیتونید بگید که این فرمول آخر اشتباهه چون من میتونم $\mu(A)$ رو ببرم به اون طرف و مشکل بی نهایت منهای بی نهایت پیش میاد.

---

بله در حالت کلی مجاز نیستیم میو تفاضل رو به صورت تفاضل میوها بنویسیم.مثلا کتاب LEBESGUE MEASURE
and
INTEGRATION
P K Jain
رو ببینید صفحه 68.در اونجا گفته باید اندازه مجموعه مشمول کوچکتر از بی نهایت باشه.
بهانه این بحث اینه که این سوال ساده وقتی  آنالیز حقیقی داشتم در امتحان پایانی اومده بود و در اونجا ذکر شده بود اندازه ها کوچکتر از بی نهایتند.

---

مهران
ولی بالاخره قانع شدید که در اینجا متناهی بودن اندازه ها لزومی نداره؟؟

---

بله در اینجا حق با شماست.ولی اگه اشتراک بره سمت راست تساوی و از اول بگن این فرمول رو ثابت کنین باید اندازه ها کوچکتر از بی نهایت باشن.