اگر $\mu $ اندازه لبگ باشد ثابت کنید : $\mu ^{ \star } (x+A)= \mu ^{ \star }(A) $

Question

اگر $\mu $ اندازه لبگ باشد برای $A \subseteq R $ و برای هر $ x \in R$ ثابت کنید :
$\mu ^{ \star } (x+A)= \mu ^{ \star }(A) $

Comments

اگر  برای هر A⊆R   معلوم نیست A اندازه پذیر لبگ باشد یعنی ممکن است اندازه برای A  تعریف نشده باشد اما دارای تعریف اندازه خارجی می باشد و سوال بالا در مورد اندازه خارجی می باشد نه اندازه ، که قبلا ثابت شده است . در صورت امکان سوال را فعال نموده و در سایت قرار دهید
با تشکر

Answer 1

بنابر تعریف اندازه خارجی: $$\mu(A)=\inf\big\{\sum_k\mu(I_k):A\subset\cup_kI_k, I_k\ bazeh\ ast\big\} $$ و اگر $ \{I_k\} $ یک پوشش $ A $باشد آنگاه $ \{I_k+x\} $ یک پوشش $ A+x $ است. و می دانیم که $\mu(I_k)=\mu(I_k+x) $ .

با استفاده از این مطالب برابری $\mu^*(A) $ و $ \mu^*(A+x) $ واضح است.