پیدا کردن $v^\star([0,\infty))$

Question

فرض کنید $A$ یک سیگما جبر مجموعه های شمارا یا متمم شمارا روی مجموعه اعداد حقیقی ( $ℝ$) باشد . تابع $v:A→ [0,1]$ را به صورت زیر تعریف می کنیم:

$$ v(A) =\begin{cases}0 & A\ shomara\ bashad\\1 & A^c \ shomara\ bashad\end{cases} $$ موارد زیر را پیدا کنید: $v^\star([0,\infty))$ و $v^\star((-\infty , 0))$ و $v^\star([0,1])$ و $v^\star([0,\frac 12])$

Comments

$v$رو فهمیدم چیه اما منظور از $v^{*} $ چیه؟

---

منظورش اندازه خارجیه.

Answer 1

بنابر تعریف اندازه خارجی: $$ v^\star(E)=\inf\big\{\sum_1^\infty v(E_i):E\subset \bigcup E_i,E_i\in A\big\} $$ توجه کنید که برای اعضای هر $E\in A $ داریم: $ v^\star(E)=v(E) $ . مثلا$v^\star(\mathbb R)=v(\mathbb R)=1 $ .پس تا حالا مطمئنیم که اندازه خارجی هر مجموعه ای کوچکتر مساوی $ 1 $ است.

حال برای مجموعه $ [0,\infty) $ باید گردایه ی $ \{E_i\}_1^\infty\subset A $ را پیدا کنیم که اینفیمم $ \big\{\sum_1^\infty v(E_i):E\subset \bigcup E_i,E_i\in A\big\} $ باشد. چون $ [0,\infty) $ ناشمارا است پس اگر $[0,\infty)\subset \bigcup E_i $ باشد باید حداقل یکی از $E_i $ ها ناشمارا باشد در اینصورت چون $ v(E_i) $ ها همگی صفر هستند(چون شمارا هستند) به جز برای آن یکی مجموعه $ E_i $ که ناشماراست داریم $v(E_i)=1 $ و لذا $ \sum_1^\infty v(E_i) =1$ . پس $v^\star ([0,\infty))=1 $ .