اگر $A\subset B$ آنگاه $\mu^*(A)\leq \mu^*(B)$

Question

اگر $A \subset B $ آنگاه اندازه خارجی $A $ کمتر مساوی اندازه خارجی $ B$ است .

Answer 1

شاید سوالتون چیز دیگه س. ولی همونطور که میدونید این جزو تعریف یک اندازه خارجیه. یعنی یک اندازه خارجی روی مجموعه ناتهی $X $ به صورت تابع $ \mu^*:P(X)\to [0,\infty]$ تعریف می شود که:

1. $\mu^*(\emptyset)=0 $ .

2. اگر $ A\subset B$ آنگاه $ \mu^*(A)\leq \mu^*(B) $ .

3. $\mu^*(\bigcup_1^\infty A_i )\leq \sum_1^\infty \mu^*(A_i) $ .

پس همونطور که میبینید این چیزی که شما گفتید جزو تعریفه.

با این حال من فکر میکنم که سوال اصلی شما اینه:

اگر $\mathcal E\subset \mathbb P(X)$ و $ \rho:\mathcal E\to [0,\infty]$ که $ \emptyset\in \mathcal E $ و $ X\in\mathcal E $ و $\rho(\emptyset)=0 $ آنگاه با تعریف $$\mu^*(A)=\inf\big\{\sum_1^\infty \rho(E_i):E_i\in\mathcal E, A\subset \cup E_i\big\} $$ برای هر $A\subset X $ ، $ \mu^* $ یک اندازه خارجی می شود.

در اثبات این قضیه برای اینکه نشون بدیم $A\subset B $ آنگاه $\mu^*(A)\leq \mu^*(B) $ فقط کافیه توجه کنیم که:

$\big\{\sum_1^\infty \rho(E_i):E_i\in \mathcal E, B\subset \cup E_i\big\} \subset \big\{ \sum_1^\infty \rho(E_i):E_i\in \mathcal E, A\subset \cup E_i\big\}$

به خاط اینکه هر گردایه ای که $ B $ را بپوشاند $ A$ را هم می پوشاند.

حالا به یاد بیارید که اگر $ X\subset Y$ آنگاه $\inf Y\leq \inf X $ .

یعنی $$\begin{align} \mu^*(A)&=\inf\big\{\sum_1^\infty \rho(E_i):E_i\in\mathcal E, A\subset\cup E_i\big\}\\ &\leq\inf\big\{\sum_1^\infty \rho(E_i):E_i\in\mathcal E, B\subset\cup E_i\big\}=\mu^*(B) \end{align}$$