مثالی بیاورید که: $m ^{*} ( \bigcup_1^\infty A _{n} ) < \sum_1^ \infty \ m ^{*}(A_{n})$

Question

می دانیم $m ^{*} ( \bigcup_1^\infty A _{n} ) \leq \sum_1^ \infty \ m ^{*} ( A _{n} )$ . مثالی بیاورید که

$$m ^{*} ( \bigcup_1^\infty A _{n} ) < \sum_1^ \infty \ m ^{*}(A_{n})$$

Answer 1

اول به این سوال مراجعه کنید لطفا ببینید که چطوری مجموعه اندازه ناپذیر $N$ رو ساختیم. در اینجا قسمتی از اینکه چطوری $N$ تعریف میشه آوردم. برای اثبات اندازه ناپذیری این مجموعه به اون سوال که گفتم مراجعه کنید.

---

یک رابطه هم ارزی روی $\mathbb R$ به صورت زیر تعریف کنید:

$$x\sim y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb Q$$ این یک رابطه هم ارزی بوده و کلاس های هم ارزی به شکل: $$\begin{align} [x]&=\{y\in\mathbb R: x\sim y\}\\ &=\{x+r: r\in\mathbb Q\}\\ &=\mathbb Q +x\end{align}$$ می دانیم که این کلاس های هم ارزی یا با هم مساوی اند یا از هم جدا هستند یعنی: $$\forall x,y\in\mathbb R, \quad ya\ \ [x]=[y]\quad ya\ \ [x]\cap [y]=\emptyset$$ و همچنین کلاس های هم ارزی تشکیل یک افراز برای اعداد حقیقی می دهند: $$\bigcup_{x\in\mathbb R}[x]=\mathbb R$$ . همه ی کلاس های هم ارزی شمارا هستند در حالیکه $\mathbb R$ ناشمارا است. لذا باید تعداد ناشمارایی از این کلاس های هم ارزی مخالف هم باشند.

حال با استفاده از اصل انتخاب یک مجموعه ی $N$ که دقیقا از انتخاب یک عضو از هر کدام از آن کلاس های هم ارزی از هم جدا تشکیل شده است وجود دارد. به عبارت دیگر ما مجموعه $N$ را با انتخاب فقط یک عضو از هر کدام از آن کلاس های مجزا از هم انتخاب می کنیم. خوب پس $N$ این خواص رو داره:

• $N$ ناشمارا است.

• $x,y\in N \Rightarrow x\nsim y\Rightarrow x-y\notin\mathbb Q$

• $\{[x]:x\in N\}$ مجموعه تمام کلاس های هم ارزی مجزا است.

• $\bigcup_{x\in N}[x]=\bigcup_{x\in N} (\mathbb Q+x)=\mathbb R$ .

حال تعریف می کنیم: قسمت اعشاری $x\ mod\ 1\ =x$

یعنی $y=x\ mod\ 1$ یک عدد در بازه ی $[0,1)$ است به طوریکه $x=y+n$ برای یک عدد صحیح $n$ .

حال به جای هر $x\in N$ قسمت اعشاری آن را در نظر می گیریم و مجموعه $N$ را با مجموعه ی زیر عوض می کنیم:

$$\{ x\ mod\ 1: x\in N\}$$ . این $N$جدید دارای خواص مشابهی مانند $N$قبلی است. یعنی شامل یک عضو از هر کلاس هم ارزی مجزا است. و از طرفی حالا می دانیم که $N\subset[0,1)$ .

این مجموعه $N$ اندازه ناپذیر است.(اثباتش در اون سوالی که گفتم اومده)

چون اندازه ناپذیر است لذا باید $m^*(N)>0$ باشد(چون اندازه لبگ کامل بوده و اگر برابر صفر باشد لبگ اندازه پذیر میشه در حالیکه میدونیم اندازه ناپذیره).

فرض کنید $N_r$ انتقالی از $N$ به اندازه ی $r$ باشد و سپس از آن
$mod\ 1$ بگیرد تا $N_r$ داخل $[0,1)$ باقی بماند:(یه شکل برای خودتون بکشید)

$$\begin{align} N_r&=(N+r)\ mod\ 1\\ &=\{x+r\ mod\ 1:x\in N\}\\ &=\big(N+r\cap[0,1)\big)\cup\big( N+r-1\cap[0,1)\big) \end{align}$$

---

حال مجموعه های $N_r$ برای

$$r\in R=\mathbb Q\cap [0,1)$$ را در نظر بگیرید.

واضح است که فقط تعداد شمارایی از مجموعه های $N_r$ با $r\in R$ موجود است. حال داریم:

• مجموعه های $N_r$ که $r\in R$ مجموعه ی $[0,1)$ را می پوشانند، یعنی $[0,1)\subset \bigcup N_r$ . و از طرفی $\bigcup N_r\subset [0,2]$ .(چرا؟)

• مجموعه های $N_r$ که $r\in R$ مجزا هستند.(چرا؟)

• داریم $m^*(N_r)=m^*(N)$ (چون فقط انتقالی از $N$ هستند).

در اینصورت گردایه $\{N_r\}$ جواب مورد نظر شماست. چون

$$\sum_{r\in R}m^*(N_r)=\infty$$ در حالیکه $$m^*(\bigcup_{r\in R}N_r)\leq m^*([0,2])=2$$