مثالی بیاورید که: $m ^{*} ( \bigcup_1^\infty A _{n} ) < \sum_1^ \infty \ m ^{*}(A_{n}) $

Question

می دانیم $m ^{*} ( \bigcup_1^\infty A _{n} ) \leq \sum_1^ \infty \ m ^{*} ( A _{n} ) $ . مثالی بیاورید که

$$m ^{*} ( \bigcup_1^\infty A _{n} ) < \sum_1^ \infty \ m ^{*}(A_{n}) $$

Answer 1

اول به این سوال مراجعه کنید لطفا ببینید که چطوری مجموعه اندازه ناپذیر $ N $ رو ساختیم. در اینجا قسمتی از اینکه چطوری $N $ تعریف میشه آوردم. برای اثبات اندازه ناپذیری این مجموعه به اون سوال که گفتم مراجعه کنید.

---

یک رابطه هم ارزی روی $\mathbb R $ به صورت زیر تعریف کنید: $$ x\sim y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb Q $$ این یک رابطه هم ارزی بوده و کلاس های هم ارزی به شکل: $$\begin{align} [x]&=\{y\in\mathbb R: x\sim y\}\\ &=\{x+r: r\in\mathbb Q\}\\ &=\mathbb Q +x\end{align}$$ می دانیم که این کلاس های هم ارزی یا با هم مساوی اند یا از هم جدا هستند یعنی: $$ \forall x,y\in\mathbb R, \quad ya\ \ [x]=[y]\quad ya\ \ [x]\cap [y]=\emptyset $$ و همچنین کلاس های هم ارزی تشکیل یک افراز برای اعداد حقیقی می دهند: $$\bigcup_{x\in\mathbb R}[x]=\mathbb R $$ . همه ی کلاس های هم ارزی شمارا هستند در حالیکه $ \mathbb R $ ناشمارا است. لذا باید تعداد ناشمارایی از این کلاس های هم ارزی مخالف هم باشند.

حال با استفاده از اصل انتخاب یک مجموعه ی $N $ که دقیقا از انتخاب یک عضو از هر کدام از آن کلاس های هم ارزی از هم جدا تشکیل شده است وجود دارد. به عبارت دیگر ما مجموعه $ N $ را با انتخاب فقط یک عضو از هر کدام از آن کلاس های مجزا از هم انتخاب می کنیم. خوب پس $N $ این خواص رو داره:

• $ N $ ناشمارا است.

• $ x,y\in N \Rightarrow x\nsim y\Rightarrow x-y\notin\mathbb Q $

• $ \{[x]:x\in N\} $ مجموعه تمام کلاس های هم ارزی مجزا است.

• $ \bigcup_{x\in N}[x]=\bigcup_{x\in N} (\mathbb Q+x)=\mathbb R $ .

حال تعریف می کنیم: قسمت اعشاری $ x\ mod\ 1\ =x$

یعنی $y=x\ mod\ 1 $ یک عدد در بازه ی $ [0,1) $ است به طوریکه $ x=y+n $ برای یک عدد صحیح $ n $ .

حال به جای هر $x\in N $ قسمت اعشاری آن را در نظر می گیریم و مجموعه $ N $ را با مجموعه ی زیر عوض می کنیم: $$ \{ x\ mod\ 1: x\in N\} $$ . این $ N$جدید دارای خواص مشابهی مانند $ N$قبلی است. یعنی شامل یک عضو از هر کلاس هم ارزی مجزا است. و از طرفی حالا می دانیم که $N\subset[0,1) $ .

این مجموعه $ N $ اندازه ناپذیر است.(اثباتش در اون سوالی که گفتم اومده)

چون اندازه ناپذیر است لذا باید $ m^*(N)>0 $ باشد(چون اندازه لبگ کامل بوده و اگر برابر صفر باشد لبگ اندازه پذیر میشه در حالیکه میدونیم اندازه ناپذیره).

فرض کنید $ N_r $ انتقالی از $ N $ به اندازه ی $ r $ باشد و سپس از آن
$ mod\ 1$ بگیرد تا $N_r $ داخل $[0,1) $ باقی بماند:(یه شکل برای خودتون بکشید) $$ \begin{align} N_r&=(N+r)\ mod\ 1\\ &=\{x+r\ mod\ 1:x\in N\}\\ &=\big(N+r\cap[0,1)\big)\cup\big( N+r-1\cap[0,1)\big) \end{align}$$

---

حال مجموعه های $ N_r $ برای $$ r\in R=\mathbb Q\cap [0,1) $$ را در نظر بگیرید.

واضح است که فقط تعداد شمارایی از مجموعه های $ N_r $ با $ r\in R $ موجود است. حال داریم:

• مجموعه های $N_r $ که $ r\in R $ مجموعه ی $ [0,1) $ را می پوشانند، یعنی $ [0,1)\subset \bigcup N_r$ . و از طرفی $ \bigcup N_r\subset [0,2] $ .(چرا؟)

• مجموعه های $ N_r $ که $r\in R $ مجزا هستند.(چرا؟)

• داریم $ m^*(N_r)=m^*(N)$ (چون فقط انتقالی از $N $ هستند).

در اینصورت گردایه $\{N_r\} $ جواب مورد نظر شماست. چون $$ \sum_{r\in R}m^*(N_r)=\infty $$ در حالیکه $$m^*(\bigcup_{r\in R}N_r)\leq m^*([0,2])=2 $$