اول به این سوال مراجعه کنید لطفا ببینید که چطوری مجموعه اندازه ناپذیر $ N $ رو ساختیم. در اینجا قسمتی از اینکه چطوری $N $ تعریف میشه آوردم. برای اثبات اندازه ناپذیری این مجموعه به اون سوال که گفتم مراجعه کنید.
یک رابطه هم ارزی روی $\mathbb R $ به صورت زیر تعریف کنید:
$$ x\sim y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb Q $$
این یک رابطه هم ارزی بوده و کلاس های هم ارزی به شکل:
$$\begin{align} [x]&=\{y\in\mathbb R: x\sim y\}\\
&=\{x+r: r\in\mathbb Q\}\\
&=\mathbb Q +x\end{align}$$
می دانیم که این کلاس های هم ارزی یا با هم مساوی اند یا از هم جدا هستند یعنی:
$$ \forall x,y\in\mathbb R, \quad ya\ \ [x]=[y]\quad ya\ \ [x]\cap [y]=\emptyset $$
و همچنین کلاس های هم ارزی تشکیل یک افراز برای اعداد حقیقی می دهند:
$$\bigcup_{x\in\mathbb R}[x]=\mathbb R $$ .
همه ی کلاس های هم ارزی شمارا هستند در حالیکه $ \mathbb R $ ناشمارا است. لذا باید تعداد ناشمارایی از این کلاس های هم ارزی مخالف هم باشند.
حال با استفاده از اصل انتخاب یک مجموعه ی $N $ که دقیقا از انتخاب یک عضو از هر کدام از آن کلاس های هم ارزی از هم جدا تشکیل شده است وجود دارد. به عبارت دیگر ما مجموعه $ N $ را با انتخاب فقط یک عضو از هر کدام از آن کلاس های مجزا از هم انتخاب می کنیم. خوب پس $N $ این خواص رو داره:
حال تعریف می کنیم: قسمت اعشاری $ x\ mod\ 1\ =x$
یعنی $y=x\ mod\ 1 $ یک عدد در بازه ی $ [0,1) $ است به طوریکه $ x=y+n $ برای یک عدد صحیح $ n $ .
حال به جای هر $x\in N $ قسمت اعشاری آن را در نظر می گیریم و مجموعه $ N $ را با مجموعه ی زیر عوض می کنیم:
$$ \{ x\ mod\ 1: x\in N\} $$ .
این $ N$جدید دارای خواص مشابهی مانند $ N$قبلی است. یعنی شامل یک عضو از هر کلاس هم ارزی مجزا است. و از طرفی حالا می دانیم که $N\subset[0,1) $ .
این مجموعه $ N $ اندازه ناپذیر است.(اثباتش در اون سوالی که گفتم اومده)
چون اندازه ناپذیر است لذا باید $ m^*(N)>0 $ باشد(چون اندازه لبگ کامل بوده و اگر برابر صفر باشد لبگ اندازه پذیر میشه در حالیکه میدونیم اندازه ناپذیره).
فرض کنید $ N_r $ انتقالی از $ N $ به اندازه ی $ r $ باشد و سپس از آن
$ mod\ 1$ بگیرد تا $N_r $ داخل $[0,1) $ باقی بماند:(یه شکل برای خودتون بکشید)
$$ \begin{align}
N_r&=(N+r)\ mod\ 1\\
&=\{x+r\ mod\ 1:x\in N\}\\
&=\big(N+r\cap[0,1)\big)\cup\big( N+r-1\cap[0,1)\big)
\end{align}$$
حال مجموعه های $ N_r $ برای $$ r\in R=\mathbb Q\cap [0,1) $$ را در نظر بگیرید.
واضح است که فقط تعداد شمارایی از مجموعه های $ N_r $ با $ r\in R $ موجود است. حال داریم:
مجموعه های $N_r $ که $ r\in R $ مجموعه ی $ [0,1) $ را می پوشانند، یعنی
$ [0,1)\subset \bigcup N_r$ . و از طرفی $ \bigcup N_r\subset [0,2] $ .(چرا؟)
مجموعه های $ N_r $ که $r\in R $ مجزا هستند.(چرا؟)
داریم $ m^*(N_r)=m^*(N)$ (چون فقط انتقالی از $N $ هستند).
در اینصورت گردایه $\{N_r\} $ جواب مورد نظر شماست. چون
$$ \sum_{r\in R}m^*(N_r)=\infty $$
در حالیکه
$$m^*(\bigcup_{r\in R}N_r)\leq m^*([0,2])=2 $$
