اگر$\mu ( \Omega )< \infty$آنگاه$ \| f \|_ p \to \|f\|_\infty $

Question

فرض کنید که $ \mu $ یک اندازه متناهی باشد آنگاه نشان دهید که اگر $p \mapsto \infty $ آنگاه $ \parallel f \parallel _ p \mapsto \parallel f \parallel _ \infty $

همچنین مثالی بنویسید که نشان دهد اگر $ \mu ( \Omega )= \infty $آنگاه حکم برقرار نیست.

Comments

سلام لطفا صورت سوال را به زبان فارسی بنویسید.
برای سوال عنوان و برچسب مناسب انتخاب کنید.

Answer 1

این سوال قبلا پرسیده شده است:

آیا $\lim_{p\to\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty$

برای نشان دادن اینکه در حالت $\mu(X)=\infty$ تساوی برقرار نیست تابع $f(x) =\begin{cases}\frac 1x & x \geq 1 \\ 0 & 0< x< 1\end{cases} $ را در نظر بگیرید و $\mu$ اندازه لبگ روی $(0,\infty)$ باشد. در اینصورت برای $p>1$:

$$\|f\|_p=(\frac 1{p-1})^p\to 0$$

در حالیکه $\|f\|_\infty=1$