نشان می دهیم که : $ \lim_{p\to\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty $ :
یک طرف واضح است زیرا بنابرتعریف نرم $ \|f\|_\infty $ تقریبا همه جا داریم $ |f(x)|\leq \|f\|_\infty$ لذا
$$\|f\|_p=\big(\int|f|^pd\mu\big)^{1/p}\leq \big(\int\|f\|_\infty^p d\mu\big)^{1/p} =\|f\|_\infty(\mu(X))^{1/p} $$
با حد گرفتن از طرفین داریم:
$$\lim_{p\to\infty}\|f\|_p\leq \lim_{p\to\infty}\|f\|_\infty\big(\mu(X)\big)^{1/p}=\|f\|_\infty $$
توجه کنید که شرط متناهی بودن اندازه در اینجا ضروری است.
برای اثبات عکس نشان می دهیم به ازای هر $ \epsilon>0$ داریم $\lim_{p\to\infty}\|f\|_p\geq \|f\|_\infty-\epsilon $
فرض کنید $ \epsilon>0 $ دلخواه باشد بنابر تعریف $$ \|f\|_\infty=\inf\{M: |f(x)|\leq M\ \mu-a.e.\}=\inf\{M: \mu(\{x:|f(x)|> M\}=0\}$$ اگر مجموعه $A=\{x:|f(x)|>\|f\|_\infty-\epsilon\} $ را در نظر بگیرید آنگاه $ \mu(A)> 0$ .
در اینصورت داریم:
$$\begin{align}\big(\int|f|^pd\mu\big)^{1/p}&\geq \big(\int_A|f|^pd\mu\big)^{1/p}\\
&\geq \big(\int_A(\|f\|_\infty-\epsilon)^p\big)^{1/p}\\
&=(||f||_\infty-\epsilon)(\mu(A))^{1/p} \end{align}$$
و حال اگر $ p\to\infty $ داریم: $ \lim_{p\to\infty}\|f\|_p\geq \|f\|_\infty-\epsilon $ و چون اپسیلون دلخواه بود لذا $\lim_{p\to\infty}\|f\|_p\geq \|f\|_\infty $ .
