اثبات کامل بودن $ L^\infty(X,\mathcal M,\mu) $ :
فرض کنید $\{f_n\} $ یک دنباله کوشی در $L^\infty $ باشد.( توجه کنید $ f_n\in L^\infty $ ) قرار می دهیم
$$ A_{n,m}=\{x:|f_n(x)-f_m(x)|> ||f_n-f_m||_\infty\} $$
در اینصورت $ A_{m,n} $ اندازه پذیر است زیرا $ f_n-f_m $ اندازه پذیر است و $\mu(A_{m,n})=0 $ زیرا $ f_n-f_m\in L^\infty$ . ( تعریف $ f\in L^\infty $ را به یاد آورید.)
اگر قرار دهیم $A=\bigcup _{n,m}A_{m,n} $ آنگاه $ A$ اندازه پذیر است زیرا اجتماع شمارا از مجموعه های اندازه پذیر است.
قرار دهید $B=A^c $ در اینصورت $ B$ اندازه پذیر است و داریم $ \mu(B^c)=\mu(A)=0 $
نشان می دهیم برای هر $x\in B $ دنباله ی $ \{f_n(x)\} $ در $ \mathbb R $ کوشی است.
فرض کنید $ \epsilon>0$ دلخواه باشد. چون $ f_n $ در $ L^\infty $ کوشی است لذا $ N $ی هست که برای $m,n\geq N $ داریم $ ||f_n-f_m||_\infty< \epsilon $ . اما چون $ x\in B=A^c $ و
$$\begin{align}B=A^c&=\bigcap_{m,n}\{x: |f_n(x)-f_m(x)|\leq ||f_n-f_m|_\infty\}\\
&=\{x: |f_n(x)-f_m(x)|\leq ||f_n-f_m||_\infty,\quad \forall m,n\in\mathbb N\}
\end{align} $$
پس از $ x\in B $ نتیجه می شود که $ \{f_n(x)\}$ در $ \mathbb R$ کوشی است.
ولی چون $ \mathbb R $ کامل است پس $ \lim_{n\to\infty}f_n(x)$ برای هر $ x\in B $ موجود است و کافی است قرار دهیم:
$$ f(x)=\begin{cases}\lim_{n\to\infty}f_n(x)&x\in B\\
0& x\notin B
\end{cases} $$
در اینصورت واضح است که $f $ اندازه پذیر است چون حد دنباله ای از توابع اندازه پذیر است.
تنها چیزی که که مانده ثابت کنیم اینکه $ f\in L^\infty$ و $ f_n\to f $ در $L^\infty $ .
برای این کار قرار دهید $ M=B\cap\{x:|f_n(x)|\leq ||f_n||_\infty\} $ در اینصورت $N $ اندازه پذیر است( اشتراک دو مجموعه اندازه پذیر) برای هر
$ \epsilon> 0 $ یک $ N $ هست که برای $ m,n> N $ داریم $ ||f_n-f_m||_\infty< \epsilon $
پس برای $x\in M=B\cap \{x: |f_n(x)|\leq ||f_n||_\infty\} $ و $m,n\geq N $ داریم:
$$ |f_n(x)-f_m(x)|\leq ||f_n-f-m||_\infty< \epsilon $$ و اگر $ n\to \infty $ میل دهیم داریم:
$$ |f(x)-f_m(x)|\leq \epsilon $$
و لذا
$$ |f(x)|\leq |f(x)-f_m(x)|+|f_m(x)|\leq \epsilon+||f_m||_\infty\quad \mu-a.e. $$
و این یعنی $ f\in L^\infty $
و همینطور چون $ n> N$ داریم:
$ ||f-f_N||_\infty< \epsilon $ لذا $ f_n\to f $ در $ L^\infty $ .
