آیا یک فضای برداری که روی میدانی متناهی تعریف شدهاست را میتوان به شکل اجتماع متناهی از زیرفضاهایش نوشت؟

Question

می‌دانیم که هر فضای برداری که روی میدانی نامتناهی تعریف شده‌باشد، اجتماعی از تعداد متناهی زیرفضای سرهٔ خودش نیست. اکنون اگر میدان متناهی باشد چطور؟ آیا قضیه باز برقرار می‌ماند؟

Answer 1

هیچکی جوابم رو نداد تا خودم مجبورشم و حلش کنم. فضای برداری $V$ تولید شده توسط دو عنصر مستقل خطی $e_{1}$ و $e_{2}$ را روی میدان متناهی $Z_{2} = \big\{0,1\big\}$ در نظر بگیرید چون همواره روی این میدان داریم $2a=0$ براحتی ثابت می شود تنها زیر فضاهای غیر بدیهی $V$ برابر زیر فضاهای سره ی زیر است که بوضوح اجتماعشون همان $V= \big\{0, e_{1}, e_{2}, e_{1}+ e_{2}\big\}$ می شود.

$V _{1} = \big\{0, e_{1}\big\}$ یا $V _{2}= \big\{0, e_{2}\big\}$ یا $V _{3}= \big\{0, e_{1}+ e_{2}\big\}$

همچنین اگر میدان رو متناهی و بعد فضارو هم متناهی بگیریم براحتی ثابت می شود تعداد زیر فضاهای $V$ متناهی است و هر عضو $V$ حداقل در یک زیر فضای سره از $V$ (تولید شده توسط همان عضو) قرار دارد لذا اجتماع این زیر فضا ها برابر خود $V$ می شود.