به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
67 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

آیا هر عدد گنگی به شکل رادیکال یک عدد گویا است؟ برای نمونه $\sqrt{2}$ یک عدد گنگ است. اکنون عدد گنگ $\log_{10}(26)$ را می‌توان به شکل $\sqrt[n]{a}$ نوشت که $n$ عددی طبیعی و $a$ عددی گویا باشد؟

توسط sMs (621 امتیاز)
@Amin.mz ببخشید منظورتان را نمی‌فهمم. $log26 $ مگر خودش عددی گنگ نیست؟! منظورتان این است که به صورتی دیگر نوشته شود؟ مثلا به صورت رایکالی؟! یا نمایی و یا ... خب مثلا یک جواب به پرسش شما می‌تواند $log2+log13 $ باشد که اولا با $log26 $ برابر است و در ضمن عددی گنگ است...
توسط
@Sina Moradi ببخشید منظورم به صورت عددی رادیکالی است.
توسط AmirHosein (10,905 امتیاز)
+1
@Amin.mz به ویرایشی که برایتان انجام دادم نگاه کنید. اگر فقط رادیکالِ یک چیزی بودن بخواهید، خب بنویسید جذرِ توان دویِ خودش. پس احتمالا شرط گویا بودنِ زیر رادیکال را در نظر دارید که پرسش بدیهی نشود و همین‌طور ابهام قبلی‌تان که تصور داشتید عددهای گویا نمایش کسری از اعداد صحیح (این قسمت درست است) و اعداد گنگ نمایش رادیکالی از اعداد صحیح یا گویا دارند (که این قسمت نادرست است) را می‌پرسد. برای مثال بدیهی که هر عدد گنگی نمایش رادیکالی ندارد می‌توانید عددهای متعالی مانند $e$ و $\pi$ را نگاه کنید، اگر نمایش رادیکالی داشته‌باشند آنگاه باید ریشهٔ معادلهٔ چندجمله‌ای با ضرایب گویا یعنی $x^n-a=0$ باشند که با متعالی بودنشان در تناقض می‌شود. پس هر عدد گنگی، نمایش رادیکالی ندارد.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط mdgi (1,353 امتیاز)

فرض کنیم $\sqrt{r}=\log_{10}^{26}$. چون $1< \log_{10}^{26}< 2$ پس اگر $r$ بخواهد طبیعی باشد، تنها میتواند $3$ باشد. یعنی $\log_{10}^{26}=\sqrt{3}$. اما $$10^{\sqrt{3}}>10^{1.5}=10\sqrt{10}>26$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...